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数学选择性必修第一册4.1 数列背景图课件ppt
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这是一份数学选择性必修第一册4.1 数列背景图课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，数列的递推公式，内容索引，数列的函数特征，一个公式，递推公式，又a1＝1，a1＝1等内容，欢迎下载使用。
1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.3.进一步理解数列与函数的关系.
同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例1.
一、数列的通项公式的简单应用
三、由递推公式求通项公式
例1 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；
解 在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项.
解 令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，
反思感悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.
跟踪训练1 已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；
解 由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.
(2)判断－81是否为此数列中的项.
解 当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项.
问题1 如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？
提示 其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.
一般地，如果已知一个数列 的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用 来表示，那么这个公式就叫作这个数列的 .注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项.
例2 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ ，n∈N*，求a2 021.
…∴{an}是周期为4的数列，∴a2 021＝a4×505＋1＝a1＝2.
反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性.
解析 方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为
反思感悟 由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
又a1＝1也符合上式，
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
解 因为ln an－ln an－1＝1，
＝en－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N*.
问题2 在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式.(2)数列还可以用列表法、图象法表示.
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，
解得9≤n≤10.又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，
反思感悟 求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.(2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足 (n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组 (n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值.
所以当n＝3时，an取得最小值.
跟踪训练4 已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是A.3 B.4 C.5 D.6
1.知识清单：(1)数列的递推公式.(2)由递推公式求数列的通项公式.(3)数列的函数特征.2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.3.常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式.
1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为A.5 B.6 C.7 D.8
解析 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
A.是常数列 B.不是单调数列C.是递增数列 D.是递减数列
3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 021的值为
解析 an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，
4.323是数列{n(n＋2)}的第_____项.
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).∴323是数列{n(n＋2)}的第17项.
1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是A.15 B.255 C.16 D.63
解析 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2 021＝a3×673＋2＝a2＝－1.
4.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n
解析 ∵an＋1－an＝－1.∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式.故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*).
5.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是A.an＋1＝an＋n，n∈N*B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
解析 结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.
6.已知在数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N*)，则数列中最大项的值是
∴数列{an}中最大项的值为a6＝108.
7.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______.
解析 a1a2…a8＝82， ①a1a2…a9＝92， ②
8.数列 的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项是_____.
因为n∈N*，所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝38，则数列中的最小项是38.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想an(不用证明).
10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列{an}的通项公式；
解 设an＝kn＋b(k≠0)，
∴an＝4n－2，n∈N*.
(2)求a2 021.
解 a2 021＝4×2 021－2＝8 082.
A.a1 D.不存在
所以an＋1
解析 由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 020＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 020＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 020＝a5＋a6＋…＋a2 020＝a2 019＋a2 020＝a2 021.
A.第9项，第10项B.第10项，第11项C.第11项，第12项D.第12项，第13项
解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项.
解析 方法一 (累乘法)
得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
又a1＝1也适合上式，
方法三 (构造特殊数列法)
∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，∴nan＝1·a1＝1，
15.在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝______.
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
16.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值.
解 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.3.进一步理解数列与函数的关系.
同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例1.
一、数列的通项公式的简单应用
三、由递推公式求通项公式
例1 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；
解 在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项.
解 令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，
反思感悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.
跟踪训练1 已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；
解 由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.
(2)判断－81是否为此数列中的项.
解 当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项.
问题1 如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？
提示 其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.
一般地，如果已知一个数列 的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用 来表示，那么这个公式就叫作这个数列的 .注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项.
例2 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ ，n∈N*，求a2 021.
…∴{an}是周期为4的数列，∴a2 021＝a4×505＋1＝a1＝2.
反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性.
解析 方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为
反思感悟 由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
又a1＝1也符合上式，
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
解 因为ln an－ln an－1＝1，
＝en－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N*.
问题2 在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式.(2)数列还可以用列表法、图象法表示.
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1
解得9≤n≤10.又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，
反思感悟 求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.(2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足 (n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组 (n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值.
所以当n＝3时，an取得最小值.
跟踪训练4 已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是A.3 B.4 C.5 D.6
1.知识清单：(1)数列的递推公式.(2)由递推公式求数列的通项公式.(3)数列的函数特征.2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.3.常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式.
1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为A.5 B.6 C.7 D.8
解析 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
A.是常数列 B.不是单调数列C.是递增数列 D.是递减数列
3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 021的值为
解析 an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，
4.323是数列{n(n＋2)}的第_____项.
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).∴323是数列{n(n＋2)}的第17项.
1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是A.15 B.255 C.16 D.63
解析 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2 021＝a3×673＋2＝a2＝－1.
4.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n
解析 ∵an＋1－an＝－1.∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式.故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*).
5.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是A.an＋1＝an＋n，n∈N*B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
解析 结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.
6.已知在数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N*)，则数列中最大项的值是
∴数列{an}中最大项的值为a6＝108.
7.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______.
解析 a1a2…a8＝82， ①a1a2…a9＝92， ②
8.数列 的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项是_____.
因为n∈N*，所以当n＝3或n＝4时，an最小，此时a3＝a4＝38，则数列中的最小项是38.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想an(不用证明).
10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列{an}的通项公式；
解 设an＝kn＋b(k≠0)，
∴an＝4n－2，n∈N*.
(2)求a2 021.
解 a2 021＝4×2 021－2＝8 082.
A.a1 D.不存在
所以an＋1
解析 由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 020＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 020＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 020＝a5＋a6＋…＋a2 020＝a2 019＋a2 020＝a2 021.
A.第9项，第10项B.第10项，第11项C.第11项，第12项D.第12项，第13项
解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项.
解析 方法一 (累乘法)
得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
又a1＝1也适合上式，
方法三 (构造特殊数列法)
∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，∴nan＝1·a1＝1，
15.在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝______.
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
16.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值.
解 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
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