【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.2 习题课 等差数列的性质的综合问题【讲义+习题】

习题课　等差数列的性质的综合问题
学习目标　1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.2.掌握等差数列中项的设法．
一、等差数列性质的实际应用
例1　《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为(　　)
A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺
答案　D
解析　设该等差数列为{an}，冬至、小寒、大寒…芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得，
a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，又a12＝4.5，所以d＝＝－1.
所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺)．
反思感悟　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．
跟踪训练1　某企业2020年7月份到12月份的月产量(单位：吨)逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为(　　)
A．48吨 B．54吨
C．60吨 D．66吨
答案　C
解析　设2020年n(1≤n≤12，n∈N*)月的产量为an，由题意可知，数列{an}是等差数列，
则a7＝10，a12＝20，则8月到11月这四个月的产量之和为a8＋a9＋a10＋a11＝2(a7＋a12)＝60(吨)．
二、等差数列中项的设法
例2　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得
所以这三个数为4,3,2.
(2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，
所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
反思感悟　等差数列的设项方法和技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出．
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出．
跟踪训练2　已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
解　设第三个数为a，公差为d，
则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
由已知有

整理得
解得
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
三、等差数列性质的综合应用
例3　若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d＝________，m＋n的值为________．
答案　　
解析　设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0,1－4n>0)．
设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝，
∴x2＝，数列的公差d＝＝，
∴数列的中间两项分别为＋＝，
＋＝.
∴x1·x2＝m＝，x3·x4＝n＝×＝.
∴m＋n＝＋＝.
反思感悟　解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式．
(3)利用函数或不等式的有关方法解决．
跟踪训练3　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
答案　27
解析　方法一　由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，
则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.
方法二　设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.

1．知识清单：
(1)等差数列的实际应用．
(2)等差数列中项的设法．
(3)等差数列的综合应用．
2．方法归纳：解方程组法．
3．常见误区：对等差数列的性质不理解而致错．

1．已知等差数列1，a1，a2，9，则a2－a1的值为(　　)
A．8 B．－8 C．±8 D.
答案　D
解析　根据等差数列1，a1，a2，9知，1和9是该数列的第一项和第四项，
所以a2－a1＝＝.
2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝10，a3＋a6＝14，则a5＋a8等于(　　)
A．12 B．22 C．24 D．34
答案　B
解析　设数列{an}的公差为d，
则d＝＝＝2，
故a5＋a8＝a5＋a2＋6d＝10＋6×2＝22.
3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是(　　)
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
答案　C
解析　因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金(　　)
A．多斤 B．少斤
C．多斤 D．少斤
答案　A
解析　设十等人得金从高到低依次为a1，a2，…，a10，
则{an}为等差数列，
设公差为d，则由题意可知
∴a2＝，a9＝1，
∴d＝＝－，
∴a1－a9＝－8d＝.
即等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多斤．


1．已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，则a7等于(　　)
A．1 B．8 C．4 D．2
答案　D
解析　因为各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，
所以2a7－a＝0，解得a7＝2或a7＝0(舍去)．
2．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为(　　)
A．0 B．37 C．100 D．－37
答案　C
解析　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，
所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
3．已知等差数列{an}的首项是2，公差为d，且{an}中有一项是14，则d的取值的个数为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．7
答案　C
解析　等差数列{an}的首项是2，公差为d(d∈Z)，有一项是14，
∴设第n项为14，有an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d＝14，即(n－1)d＝12，
由n∈N*知，n－1>0，n－1∈N*，而12＝1×12＝2×6＝3×4，
∴d的取值有1,2,3,4,6,12.
4．若三个数成等差数列，它们的和为12，积为－36，则这三个数的平方和为(　　)
A．98 B．88 C．78 D．68
答案　A
解析　设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,4,9或9,4，－1.
∴它们的平方和为98.
5．已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B．有两个相等的实根
C．有两个不等的实根 D．不能确定有无实根
答案　A
解析　因为a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，
a2＋a5＋a8＝3a5＝9，
所以a5＝3，
则方程为x2＋6x＋10＝0，
因为Δ＝62－4×10＝－4<0，
所以方程无实根．
6．(多选)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2 022是该数列的一项，则公差d不可能是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　ACD
解析　由2 022是该数列的一项，得2 022＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N*，
所以d是2 019的约数，故d不可能是2,4和5.
7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
答案　－21
解析　设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.
∴它们的积为－21.
8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
答案　1或2
解析　∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
9．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．
解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，得
解得或
又四个数成递减等差数列，所以d<0，
所以d＝－，
故所求的四个数为11,8,5,2.
10．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请说明理由．
解　(1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，
所以a2＝＝，a3＝＝.
(2)假设存在一个实数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，即＝＋，
解得λ＝1.
因为－＝－
＝－＝＝－，
又＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列．

11．设等差数列的公差为d，若数列 为递减数列，则(　　)
A．d>0 B．d<0
C．a1d>0 D．a1d<0
答案　D
解析　由数列为递减数列，得，
再由指数函数性质得a1an－1>a1an，
由等差数列的公差为d知，an－an－1＝d，
所以a1an－1>a1an⇒a1an－a1an－1<0⇒a1(an－an－1)<0⇒a1d<0.
12．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin(α＋β)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题可设三边长分别为a－1，a，a＋1，
∵三角形周长为9，∴a－1＋a＋a＋1＝9，
解得a＝3，
∴三边长分别为2,3,4，
由余弦定理可得cos α＝＝－，
∴sin α＝＝，
同理cos β＝，sin β＝，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×－×＝.
13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.
由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
得3a＋3d＝7(2a－3d)，
∴24d＝11a，∴d＝，
∴最小的一份为a－2d＝20－＝.
14．在等差数列{an}中，a2＝3，若从第5项开始为负数，则公差d的取值范围是________．
答案　
解析　∵等差数列{an}从第5项开始为负数，
∴即∴
解得－≤d<－1.

15．一个三角形的三个内角A，B，C成等差数列，其三边a，b，c也成等差数列，则该三角形的形状为________．
答案　等边三角形
解析　由三边成等差数列，得2b＝a＋c，
三角形的三个内角A，B，C成等差数列，则2B＝A＋C且A＋B＋C＝π，得B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos 60°，
即2＝a2＋c2－ac.
即(a＋c)2＝4a2＋4c2－4ac，整理得a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c.
所以在三角形中a＝c，B＝，则A＝C＝B＝.
所以该三角形为等边三角形．
16．设数列{an}(n＝1,2，…)是等差数列，且公差为d，若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
(1)若a1＝4，d＝2，求证：该数列是“封闭数列”；
(2)试判断数列an＝2n－7(n∈N*)是否为“封闭数列”，为什么？
(1)证明　∵a1＝4，d＝2，
∴an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.
∴对任意的m，n∈N*，有am＋an＝(2m＋2)＋(2n＋2)＝2(m＋n＋1)＋2.
∵m＋n＋1∈N*，令p＝m＋n＋1，则有ap＝2p＋2，它是该数列的项．
∴该数列是“封闭数列”．
(2)解　∵an＝2n－7(n∈N*)，
∴a1＝－5，a2＝－3.
∴a1＋a2＝－8.
令an＝a1＋a2＝－8⇒2n－7＝－8⇒
n＝－∉N*.
∴数列an＝2n－7(n∈N*)不是“封闭数列”．