高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合教案

导入新课

新知导入：

情景一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的

活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?

答：要解决该问题，可以分为两个步骤：

（1）从甲、乙、丙3名同学中选择1人参加上午的活动，有3种方法；（2）从剩下的2名同学中选择1人参加下午的活动，有2种方法；根据分步乘法计数原理，总共有3 x 2 = 6种不同的方法

情景二：从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

答：要解决该问题，可以分为三个步骤：（1）从a、b、c、d四个字母中选出1个字母，排在第一位，有4种选法；（2）从剩下的3个字母中选择1个字母，排在第二位，有3种选法；（3）从剩下的2个字母中选择1个字母，排在第三位，有2种选法；根据分步乘法计数原理，总共有4 x 3 x 2 = 24种不同的方法.

学生思考问题，引出本节新课内容.

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.

讲授新课

新知讲解：排列数

我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.例如情景一中，是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为，通过前面导入算得:3×2=6.情景二中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出=4×3×2=24.

合作探究：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数是多少？

（1）可以先从特殊的情况开始研究，如求排列数

;假设有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中选取2个元素去填空，一个空位填上1个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数.第一步，填第1个位置的元素，可以从n个不同元素中任取1个，有n种选法；第二步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个不同元素中任取1个，有(n-1)种选法；根据分步乘法计数原理，2个空位的填法总数为；

（2）同理，求排列数可以按照依次填3个空位的方法来考虑，有；

（3）同理，求排列数可以按照依次填m个空位的方法来考虑;第一步：从n个不同元素中任选一个填在第1位，有n种选法；第二步：从剩下的(n-1)个不同元素中任选一个填在第2位，有(n-1)种选法；第三步：从剩下的(n-2)个不同元素中任选一个填在第3位，有(n-2)种选法……第m步：从剩下的[n-(m-1)]个不同元素中任选一个填在第m位，有

[n-m+1]种选法；根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2)...[n-(m+1)]

新知讲解：排列数公式

把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.此时，排列数公式中m=n，即有

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n!，所以n个元素的全排列数公式可以写成，规定：0!=1.因此，

总结归纳：（1）排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘；（2）一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好；（3）排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明.

例题讲解：

例1              计算：（1）  （2）  （3）

（4）

答：（1）

（2）

（3）

（4）

例2  用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

答：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊元素.

解法一：由于三位数的百位上不能是0，所以可以分两步完成：第一步：确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取1个，有种取法；第二步：确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取2个，有种取法；根据分步乘法计数原理，所求三位数的个数为：

解法二：符合条件的三位数可以分三类：第一类：每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；第二类：个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在十位和百位，有种取法；第三类：十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在个位和百位，有种取法；根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为：
解法三：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为：
知识拓展：

排队问题的解题策略（相邻、不相邻、定序等问题）：

(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.

(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.

(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.

(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决.

课堂练习：

1. 计算：（1）   （2）    （3）

答：（1）

（2）

（3）

2.  某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（  C  ）

A．24    B．36  C．48     D．60   

3.  从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（   B  ）

A．24     B．20    C．10    D．9 

4.  已知，则x= （  C  ）

A．11     B．12    C．13    D．14

拓展提高：

5.  已知，则 n=（  B  ）

A．5      B．7    C．10    D．14

6.  解不等式：（ 且 x∈N且x≥3）

答：原不等式即 ，也就是

化简得： ，解得8<x<13，

因为3≤x≤9，所以x=9

7.  把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列. 

（1）45312是这个数列的第几项？

解：先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：;第二类5开头的五位数有：45321一个;所以不大于45312的数有：个；即45312是该数列中第95项.

（2）这个数列的第71项是多少？

解：1开头的五位数有个；2开头的五位数有个；3开头的五位数有个.共有24 x 3 = 72个，所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.

8.  有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选5人排成一排

解：从7人中选5人排列，有7×6×5×4×3=2520 种.

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

解：分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，共有；

（3）全体排成一排，女生必须站在一起；

解：将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有 = 576种

（4）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

解：先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×=3600种

（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.

解：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共

链接高考：

9.  （2017 上海高考真题）若排列数 6×5×4，则m= ____3____

解：由于6×5×(6−m+1)=6×5×4 ，所以6−m+1=4，解得m=3

学生根据不同的情境问题，探究排列数概念及排列数公式

利用例题引导学生掌握并灵活运用排列与排列数公式解决实际问题

通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用

利用不同的情境问题，探究排列数的概念及排列数，培养学生探索的精神.

加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题

通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.

课堂小结

1. 排列数
2. 排列数公式

学生回顾本节课知识点，教师补充.

让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.

板书

§6.2.2 排列数

一、新知导入          三、例题讲解

二、新知讲解          四、课堂练习

1.排列数            五、拓展提高

2.排列数公式        六、课堂总结

                 七、作业布置