数学选择性必修 第三册7.5 正态分布教案及反思

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高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
问题 正态分布有哪些应用？
提示 正态分布在概率和统计中占有重要的地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．
1．正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线
函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．
显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
(3)当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．正态分布的期望与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ μ，D(X)＝σ2．
4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682__7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954__5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997__3．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3 σ原则.
拓展深化
[微判断]
1．函数 (x∈R)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(×)
提示 函数中σ的意义为标准差．
2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(×)
提示 正态曲线与x轴围成的面积为定值1.
3．正态曲线可以关于y轴对称．(√)
[微训练]
1．若X～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，Y＝6X，则E(Y)等于( )
A．1 B.eq \f(3,2)
C．6 D．36
解析 由X～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，知E(X)＝1，又Y＝6X，故E(Y)＝6E(X)＝6.
答案 C
2．设随机变量X～N(μ，σ2), 且P(X≤c)＝P(X＞c), 则c等于( )
A．0 B．σ
C．－μ D．μ
解析 由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c为对称轴，又由
X～N(μ，σ2)知对称轴为x＝μ，故c＝μ.
答案 D
[微思考]
函数f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．
提示 由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为eq \f(1,10\r(2π))，由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x＝μ，
∴μ＝72，且eq \f(1,σ\r(2π))＝eq \f(1,10\r(2π))，
∴σ＝10.
∴f(x)＝eq \f(1,10\r(2π))e－eq \f(（x－72）2,200)(x∈R).
题型一 正态曲线的图象的应用
【例1】 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．
解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq \f(1,2\r(π))，所以μ＝20.由eq \f(1,σ\r(2π))＝eq \f(1,2\r(π))，解得σ＝eq \r(2).于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝eq \f(1,2\r(π))eeq \f(－（x－20）2,4)，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq \r(2))2＝2.
规律方法 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为eq \f(1,σ\r(2π)).这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．
【训练1】 若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq \f(1,4\r(2π))，求该正态分布的概率密度函数的解析式．
解 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，
所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是eq \f(1,4\r(2π))，所以eq \f(1,\r(2π)·σ)＝eq \f(1,4\r(2π))，
解得σ＝4.
故函数的解析式为φμ，σ(x)＝eq \f(1,4\r(2π))e－eq \f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．
题型二 利用正态分布的对称性求概率
【例2】 设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1≤X≤3)；
(2)P(3≤X≤5)．
解 ∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，
(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)
＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，
∴P(3≤X≤5)＝eq \f(1,2)[P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)]
＝eq \f(1,2)[P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)]
＝eq \f(1,2)[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]
≈eq \f(1,2)×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，求P(X≥5)．
解 P(X≥5)＝P(X≤－3)＝eq \f(1,2)[1－P(－3＜X≤5)]
＝eq \f(1,2)[1－P(1－4＜X≤1＋4)]
＝eq \f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]
≈eq \f(1,2)×(1－0.954 5)＝0.022 75.
【迁移2】 (变换条件)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2，
∴P(0＜X＜4)＝0.6.
∴P(0＜X＜2)＝0.3.故选C.
答案 C
规律方法 利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．
【训练2】 设X～N(1，1)，试求：
(1)P(0(2)P(2(3)P(X≥3)．
解 ∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1.
(1)P(0＝P(μ－σ(2)∵P(2∴P(2＝eq \f(1,2)[P(1－2＝eq \f(1,2)[P(μ－2σ≈eq \f(1,2)×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
(3)∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，
∴P(X≥3)＝eq \f(1,2)[1－P(1－2＝eq \f(1,2)[1－P(μ－2σ≈eq \f(1,2)×(1－0.954 5)＝0.022 75.
题型三 正态分布的实际应用
【例3】 某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
解 由于外直径X～N(4，0.52)，
则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.002 7，
而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．
规律方法 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
【训练3】 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
解 ∵成绩服从正态分布N(80，52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80，85]内的同学占全班同学的34.135%.
设该班有x名同学，则x·34.135%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.
即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．
2．在正态分布N(μ，σ2)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，即总体随机变量的均值，它可以用样本的均值去估计，其取值是任意的实数．参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数，即总体随机变量的标准差，它可以用样本的标准差去估计，其取值范围是正数，即σ>0.
3．正态总体在某个区间内取值的概率求法：
(1)熟记P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值．
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
二、素养训练
1．正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分别为P1，P2，则二者的大小关系为( )
A．P1＝P2 B．P1＜P2
C．P1＞P2 D．不确定
解析 根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．
答案 A
2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间[3，6]内的概率为( )
(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.45%)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析 P(3≤ξ≤6)＝eq \f(1,2)[P(－6≤ξ≤6)－P(－3≤ξ≤3)]≈eq \f(1,2)×(95.45%－68.27%)＝13.59%.故选B.
答案 B
3．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X解析 ∵X～N(2，9)，
又P(X>c＋1)＝P(X∴eq \f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.
答案 2
4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为__________．
解析 如图，易得P(0答案 0.8
5．在某省组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有135人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前2 275名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
解 (1)设学生的成绩为X分，共有n人参加竞赛，
因为X～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10，
P(X＞90)＝eq \f(1,2)[1－P(30≤X≤90)]≈eq \f(1,2)×(1－0.997 3)＝0.001 35.
又P(X＞90)＝eq \f(135,n)，所以eq \f(135,n)＝0.001 35，
所以n＝100 000.故共有100 000人参加竞赛．
(2)设受奖学生的分数线为x0，
则P(X≥x0)＝eq \f(2 275,100 000)＝0.022 75.
因为0.022 75<0.5，所以x0>60.
所以P(120－x0所以x0＝60＋20＝80.
故受奖学生的分数线是80分.
基础达标
一、选择题
1．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝( )
A．0.85 B．0.70
C．0.35 D．0.15
解析 P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.
答案 C
2．某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上午、下午生产情况均正常
D．上午、下午生产情况均异常
解析 因测量值X为随机变量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，
记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，则9.9∈I，9.3∉I.故选A.
答案 A
3．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 因为随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.
答案 B
4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附：若X～N(μ，σ2)，
则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A．2 386 B．2 718
C．3 414 D．4 772
解析 由P(－1≤X≤1)≈0.682 7，得P(0答案 C
5．设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.022 75，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分点的个数的估计值为( )
附：(随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)．
A．12 076 B．13 173
C．14 056 D．7 539
解析 由题意得，P(X≤－1)＝P(X ≥3)≈0.022 75，
∴P(－1∵P(μ－2σ∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P(0故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 35)＝13 173.
答案 B
二、填空题
6．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝__________．
解析 由题意知曲线关于x＝2对称，因此P(X<2)＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
7．设随机变量X～N(3，1)，若P(X>4)＝p，则P(2解析 由X～N(3，1)，得μ＝3，所以P(3即P(2答案 1－2p
8．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有__________人．
解析 设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80，102)，则P(80－10答案 16 385
三、解答题
9．设X～N(3，42)，试求：
(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)．
解 ∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.
(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，
∴P(7≤X≤11)＝eq \f(1,2)[P(－5≤X≤11)－P(－1≤X≤7)]
＝eq \f(1,2)[P(3－8≤X≤3＋8)－P(3－4≤X≤3＋4)]
＝eq \f(1,2)[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]
≈eq \f(1,2)×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，
∴P(X＞11)＝eq \f(1,2)[1－P(－5≤X≤11)]＝eq \f(1,2)[1－P(3－8≤X≤3＋8)]
＝eq \f(1,2)[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈eq \f(1,2)×(1－0.954 5)＝0.022 75.
10．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率
P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5若选第二条路线，即X～N(6，0.16)，能及时到达的概率
P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)P(μ－2.5σ因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
能力提升
11．(多空题)已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝eq \f(1,\r(2π))e－eq \f(（x－1）2,2)，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为__________，X落在区间(2，3]内的概率为__________．
解析 由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以总体分布密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值．根据正态分布密度曲线的特点可知x＝1为f(x)的极大值点．由X～N(1，1)知P(2答案 x＝1 0.135 9
12．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8，212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：eq \r(150)≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.
解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P[187.8≤Z≤212.2]＝P(200－12.2≤Z≤200＋12.2)≈0.682 7.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间[187.8，212.2]的概率为0.682 7，依题意知X～B(100，0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27.
创新猜想
13．(多选题)设X～N(μ1，σeq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq \\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)>P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)
解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B正确；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)答案 BC
14．(多选题)某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是( )
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数相同
解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选AD.
答案 AD课标要求
素养要求
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.
2.了解正态分布的均值、方差及其含义.
通过了解正态分布的特征，提升数学抽象及数据分析素养.