高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合教学设计

课程目标

学科素养

A. 理解并掌握组合的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.

1.数学抽象：组合的概念

2.数学建模：运用组合解决计数问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    问题探究

问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？

分析：在6.2.1 节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：

甲乙、甲丙、乙丙.

从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？

一、组合的相关概念

1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.

名师点析排列与组合的区别与联系

(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.

(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.

例1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？

（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？

（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？

（1）与顺序无关，是组合问题；

（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。

例2.平面内有A，B，C，D共4个点.

（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？

（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？

分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；

（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.

解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为=4×3=12.

这12条有向线段分别为

, , , , , ,

（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，

共有如下6条：

 AB,AC,AD,BC,BD,CD.

问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？

进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？

【例1】　判断下列问题是排列问题还是组合问题.

(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？

(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？

(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？

解　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.

(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.

(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.

(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.

思维升华　区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标准是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.

【训练1】　判断下列问题是排列问题还是组合问题.

(1)集合{0，1，2，3，4}的含三个元素的子集的个数是多少？

(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？

解　(1)由于集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题.

(2)选正、副班长时要考虑顺序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑顺序的，所以是组合问题.

题型二　简单的组合问题

【例2】　有5名教师，其中3名男教师，2名女教师.

(1)现要从中选2名去参加会议，有__________种不同的选法；

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；

(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__________种不同的选法.

答案　(1)10　(2)4　(3)3

解析　(1)从5名教师中选2名去参加会议的选法种数，通过列举法可得共有10种不同的方法.

(2)可把问题分两类情况：

第1类，选出的2名是男教师，有3种方法；

第2类，选出的2名是女教师，有1种方法.

根据分类加法计数原理，共有3＋1＝4(种)不同选法.

(3)从3名男教师中选2名的选法有3种，从2名女教师中选2名的选法有1种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法3×1＝3(种).

思维升华　(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.

(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.

在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.

【训练2】　一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球.

(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解　(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10.

(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是6.

(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4.

题型三　双重元素的组合问题

【例3】　某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有(　　)

A.25种   B.35种 

C.820种   D.840种

答案　A

解析　分三类完成：男生甲参加，女生乙不参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；男生甲不参加，女生乙参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；两人都不参加，只需在其余5人中选4人，有5种选法.由分类加法计数原理共有10＋10＋5＝25(种)不同的选派方案.

思维升华　本题用到两个计数原理解题，两个原理的区别在于：分类加法计数原理每次得到的是最后结果，分步乘法计数原理每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成.

【训练3】　某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门.若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有(　　)

A.15种   B.30种

C.45种   D.90种

答案　C

解析　分两类，A类选修课选1门，B选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有3×10＋3×5＝45(种)选法.

三、课堂小结

1.牢记2个知识点

(1)组合的概念；(2)排列与组合之间的联系与区别.

2.掌握2种方法

(1)解简单的组合应用题的方法；

(2)解双重元素的组合问题的方法.

3.注意1个易错点

排列与组合的区分标准是有无顺序.　　

通过具体问题，分析、比较、归纳出组合的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。