6.3.2　二项式系数的性质

一、教学目标

二、教学过程

二项式系数的性质

对二项式系数性质的三点说明

(1)对称性：源于组合数的性质“C＝C”，基础是C＝C＝1，然后从两端向中间靠拢，便有C＝C，C＝C，….

(2)最大值：①当n是偶数时，(a＋b)n的展开式共n＋1项，n＋1是奇数，这时展开式的形式是

中间一项是第＋1项，它的二项式系数是，它是所有二项式系数中的最大值；②当n是奇数时，(a＋b)n的展开式共有n＋1项，n＋1是偶数，这时展开式的形式是

中间两项是第，项，它们的二项式系数是，，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.

(3)各二项式系数和：

C＋C＋C＋…＋C＝2n，源于(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn中，令a＝1，b＝1，即得到C＋C＋C＋…＋C＝2n.

题型一　二项展开式的系数的和问题

【例1】　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.

解　令x＝1，得：

(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，

∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.

【迁移1】　(变换所求)例1条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.

解　∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.

令x＝－1，得：

[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，

即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.

【迁移2】　(变换所求)例1条件不变，求a1＋a3＋a5的值.

解　由上题得

两式相减得a1＋a3＋a5＝×(1－243)＝－121.

思维升华　(1)赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.(2)一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0).

【训练1】　已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：

(1)a0＋a1＋…＋a8；

(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；

(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.

解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.①

(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②

①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，

∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝×(28＋48)＝32 896.

(3)由于(1－3x)8＝C＋C×(－3x)＋C×(－3x)2＋…＋C×(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，

故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65 536.

题型二　二项式系数性质的应用

【例2】　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项.

解　令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.

∴(2n)2－2n－992＝0，

∴(2n＋31)(2n－32)＝0，

∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，

∴n＝5.

(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C3·(3x2)2＝90x6，T4＝C2·(3x2)3＝270x.

(2)展开式的通项为Tk＋1＝C·3k·x(5＋2k)，

假设Tk＋1项系数最大，则有

∴

即

∴≤k≤.∵k∈N，∴k＝4，

∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.

思维升华　(1)二项式系数的最大项的求法

求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.

①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.

②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.

(2)展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项.

【训练2】　求(x－y)11的展开式中：

(1)二项式系数最大的项；

(2)项的系数绝对值最大的项；

(3)项的系数最大的项和系数最小的项；

(4)二项式系数的和；

(5)各项系数的和.

解　(1)二项式系数最大的项为中间两项：

T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.

(2)(x－y)11的展开式的通项为

Tk＋1＝Cx11－k(－y)k＝C(－1)kx11－kyk，

∴项的系数的绝对值为|C·(－1)k|＝C，

∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6＝

－Cx6y5，T7＝Cx5y6.

(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，

又∵第6项系数为负，第7项系数为正，

故项的系数最大的项为T7＝Cx5y6，项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.

(4)展开式中，二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.

(5)令x＝y＝1，得展开式中各项系数的和为C－C＋C－…－C＝(1－1)11＝0.

三、课堂小结

1.牢记3个知识点

二项式系数的性质

(1)对称性；(2)增减性与最大值；(3)各二项式系数的和.

2.掌握2种方法

(1)用赋值法解决二项展开式系数和及有关问题的方法；

(2)求二项式系数的最大项的方法.

3.注意1个易错点

二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.