2021学年5.5 三角恒等变换第1课时学案及答案

这是一份2021学年5.5 三角恒等变换第1课时学案及答案，共12页。


1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
两角差的余弦公式
温馨提示：右边是两项的和，第一项是csα与csβ的积，第二项是sinα与sinβ的积，口诀为“余余正正号相反”．
1．平面上，已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么两点间距离如何计算？
[答案] 利用公式|P1P2|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cs(60°－30°)＝cs60°－cs30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cs(α－β)＝csα－csβ都不成立．( )
(3)对任意α，β∈R，cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ都成立．( )
(4)求csα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题型一 给角求值
【典例1】 计算：(1)cs(－15°)；
(2)cs15°cs105°＋sin15°sin105°.
[思路导引] (1)将－15°用两特殊角之差表示，再正用公式求值；(2)逆用公式．
[解] (1)解法一：原式＝cs(30°－45°)
＝cs30°cs45°＋sin30°sin45°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
解法二：原式＝cs15°＝cs(45°－30°)
＝cs45°cs30°＋sin45°sin30°
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
(2)原式＝cs(15°－105°)＝cs(－90°)
＝cs90°＝0.
利用公式C(α－β)求值的思路方法
(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．
(2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．
[针对训练]
1．cs15°cs45°＋cs75°sin45°的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
[解析] 原式＝cs15°cs45°＋sin15°sin45°＝cs(15°－45°)＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，故选B.
[答案] B
2．化简cs(α＋45°)csα＋sin(α＋45°)sinα＝________.
[解析] cs(α＋45°)csα＋sin(α＋45°)sinα＝cs(α＋45°－α)＝eq \f(\r(2),2).
[答案] eq \f(\r(2),2)
题型二 给值求值
【典例2】 已知α，β均为锐角，sinα＝eq \f(8,17)，cs(α－β)＝eq \f(21,29)，求csβ的值．
[思路导引] 考虑到β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求α角的余弦和α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．
[解] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sinα＝eq \f(8,17)又∵α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，cs(α－β)＝eq \f(21,29)∴－eq \f(π,2)<α－β<－eq \f(π,6)，
∴csα＝eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)))2)＝eq \f(15,17)，
sin(α－β)＝－eq \r(1－cs2α－β)
＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(21,29)))2)＝－eq \f(20,29)，
∴csβ＝cs[α－(α－β)]
＝csαcs(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝eq \f(15,17)×eq \f(21,29)＋eq \f(8,17)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(20,29)))＝eq \f(155,493).
给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[针对训练]
3．已知锐角α，β满足csα＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，则cs(2π－β)的值为( )
A.eq \f(33,65) B．－eq \f(33,65) C.eq \f(54,65) D．－eq \f(54,65)
[解析] 因为α，β为锐角，csα＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，
所以sinα＝eq \f(4,5)，sin(α＋β)＝eq \f(12,13)，
所以cs(2π－β)＝csβ＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)·sinα
＝－eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)
＝eq \f(33,65).故选A.
[答案] A
4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，则csα的值为________．
[解析] 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
所以eq \f(π,3)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \f(5,13).
所以csα＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))cseq \f(π,3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))sineq \f(π,3)
＝－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＋eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(12\r(3)－5,26).
[答案] eq \f(12\r(3)－5,26)
题型三 给值求角
【典例3】 已知csα＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则β＝________.
[思路导引] 将β用(α＋β)－α表示，先求β的余弦值，再求角β.
[解析] ∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)．
∵csα＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，
∴sinα＝eq \f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，
∴csβ＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)·sinα
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2).
∵0<β[答案] eq \f(π,3)
[变式] 若本例变为：已知csα＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α[解] 由csα＝eq \f(1,7)，0<α得sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))2)＝eq \f(4\r(3),7).
由0<β<α又因为cs(α－β)＝eq \f(13,14)，
所以sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)
＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,14)))2)＝eq \f(3 \r(3),14).
由β＝α－(α－β)得csβ＝cs[α－(α－β)]
＝csαcs(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2)，
因为0<β 解给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
[针对训练]
5．已知0<α[解] 因为0<α且sinα＝eq \f(\r(5),5)，csβ＝eq \f(3\r(10),10)，
故csα＝eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(2\r(5),5)，
sinβ＝－eq \r(1－cs2β)＝－eq \r(1－\f(9,10))＝－eq \f(\r(10),10)，
故cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2).
由0<α又cs(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝eq \f(π,4).
课堂归纳小结
1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，
求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范围(找区间)；
(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
1．cs165°等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4) D．－eq \f(\r(6)－\r(2),4)
[解析] cs165°＝cs(180°－15°)＝－cs15°
＝－cs(45°－30°)＝－(cs45°cs30°＋sin45°sin30°)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)·\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)·\f(1,2)))＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
[答案] C
2．cseq \f(5π,12)cseq \f(π,6)＋cseq \f(π,12)sineq \f(π,6)的值是( )
A．0 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
[解析] cseq \f(5π,12)cseq \f(π,6)＋cseq \f(π,12)sineq \f(π,6)
＝cseq \f(5π,12)cseq \f(π,6)＋sineq \f(5π,12)sineq \f(π,6)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－\f(π,6)))
＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
[答案] C
3．cs(45°－α)cs(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
[解析] 原式＝cs(45°－α＋α＋15°)＝cs60°＝eq \f(1,2).故选A.
[答案] A
4．若cs(α－β)＝eq \f(\r(5),5)，cs2α＝eq \f(\r(10),10)，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)
[解析] ∵0<α<β由cs(α－β)＝eq \f(\r(5),5)，得sin(α－β)＝－eq \f(2\r(5),5).
由cs2α＝eq \f(\r(10),10)，得sin2α＝eq \f(3\r(10),10).
∴cs(α＋β)＝cs[2α－(α－β)]
＝cs2αcs(α－β)＋sin2αsin(α－β)
＝eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(\r(2),2).
又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq \f(3π,4).
[答案] C
5．已知csα＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝________.
[解析] 由csα＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，得
sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝csαcseq \f(π,4)＋sinαsineq \f(π,4)
＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).
[答案] eq \f(\r(2),10)
课后作业(四十八)
复习巩固
一、选择题
1．sin11°cs19°＋cs11°cs71°的值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1＋\r(3),2) D.eq \f(\r(3)－1,2)
[解析] sin11°cs19°＋cs11°cs71°＝cs11°cs71°＋sin11°sin71°＝cs(11°－71°)＝cs(－60°)＝eq \f(1,2).故选B.
[答案] B
2．已知点P(1，eq \r(2))是角α终边上一点，则cs(30°－α)＝( )
A.eq \f(3＋\r(6),6) B.eq \f(3－\r(6),6)
C．－eq \f(3＋\r(6),6) D.eq \f(\r(6)－3,6)
[解析] 因为点P(1，eq \r(2))是角α终边上一点，
所以csα＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，sinα＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3)，
所以cs(30°－α)＝cs30°csα＋sin30°sinα
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(3＋\r(6),6).
[答案] A
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且csα＝eq \f(12,13)，sinβ＝－eq \f(3,5)，则cs(α－β)的值为( )
A．－eq \f(63,65) B．－eq \f(33,65) C.eq \f(63,65) D.eq \f(33,65)
[解析] ∵α为锐角，且csα＝eq \f(12,13)，∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(5,13)，∵β为第三象限角，且sinβ＝－eq \f(3,5)，∴csβ＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，∴cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(63,65).故选A.
[答案] A
4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,3)<αA.eq \f(3－4\r(3),10) B.eq \f(4－3\r(3),10)
C.eq \f(2\r(3)－3,5) D.eq \f(3－2\r(3),5)
[解析] ∵eq \f(π,3)<α∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α)))＝－eq \f(4,5).
∴csα＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \f(π,6)＋
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))·sineq \f(π,6)＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3－4\r(3),10).
[答案] A
5．若cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(56,65) D.eq \f(36,65)
[解析] ∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴α＋β∈(0，π)，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).
又∵cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，
∴sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(4,5)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(12,13)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65).
[答案] C
二、填空题
6．cs(30°＋α)csα＋sin(30°＋α)sinα的值是________．
[解析] 原式＝cs[(30°＋α)－α]＝cs30°＝eq \f(\r(3),2).
[答案] eq \f(\r(3),2)
7．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝csα，则tanα＝________.
[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝csαcseq \f(π,3)＋sinαsineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)csα＋eq \f(\r(3),2)sinα＝csα，∴eq \f(\r(3),2)sinα＝eq \f(1,2)csα，∴eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\r(3),3)，即tanα＝eq \f(\r(3),3).
[答案] eq \f(\r(3),3)
8．满足eq \f(1,2)sinx＋eq \f(\r(3),2)csx＝eq \f(1,2)的角x的集合是__________．
[解析] eq \f(1,2)sinx＋eq \f(\r(3),2)csx＝csxcseq \f(π,6)＋sinxsineq \f(π,6)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，
∴x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)＋2kπ或x－eq \f(π,6)＝－eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，
∴x＝eq \f(π,2)＋2kπ或x＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z.
即所求的角x的集合是
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,2)＋2kπ或x＝－\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).
[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,2)＋2kπ或x＝－\f(π,6)＋2kπ，k∈Z))))
三、解答题
9．若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinx＝eq \f(4,5)，求2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))＋2csx的值．
[解] ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinx＝eq \f(4,5)，∴csx＝－eq \f(3,5).
∴2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))＋2csx
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csxcs\f(2π,3)＋sinxsin\f(2π,3)))＋2csx
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)csx＋\f(\r(3),2)sinx))＋2csx
＝eq \r(3)sinx＋csx
＝eq \f(4\r(3),5)－eq \f(3,5)＝eq \f(4\r(3)－3,5).
10．已知csα＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(3,4)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
求：cs(2α－β)的值．
[解] 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
又因为sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)>0，所以0<α－β所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，
cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(\r(7),4).
cs(2α－β)＝cs[α＋(α－β)]
＝csαcs(α－β)－sinαsin(α－β)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(7),4)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3,4)＝eq \f(\r(35)－6\r(5),20).
综合运用
11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则csx＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))等于( )
A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)
C．－1 D．±1
[解析] 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，
所以csx＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
＝csx＋eq \f(1,2)csx＋eq \f(\r(3),2)sinx
＝eq \f(3,2)csx＋eq \f(\r(3),2)sinx＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)csx＋\f(1,2)sinx))
＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－1.故选C.
[答案] C
12．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和csα＋csβ＋csγ＝0，则cs(α－β)的值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
[解析] 由已知得，－sinγ＝sinα＋sinβ，①
－csγ＝csα＋csβ，②
①2＋②2得，
1＝1＋1＋2sinαsinβ＋2csαcsβ，
化简得csαcsβ＋sinαsinβ＝－eq \f(1,2)，
即cs(α－β)＝－eq \f(1,2)，故选C.
[答案] C
13．化简：eq \f(2cs10°－sin20°,cs20°)＝________.
[解析] 原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin20°,cs20°)
＝eq \f(2cs30°cs20°＋2sin30°sin20°－sin20°,cs20°)
＝eq \f(\r(3)cs20°＋sin20°－sin20°,cs20°)＝eq \f(\r(3)cs20°,cs20°)＝eq \r(3).
[答案] eq \r(3)
14．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq \f(2\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，则α－β＝________.
[解析] ∵α，β均为锐角，
∴csα＝eq \f(\r(5),5)，csβ＝eq \f(3\r(10),10).
∴cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又∵sinα>sinβ，∴0<β<α∴0<α－β[答案] eq \f(π,4)
15．已知cs(α－β)＝－eq \f(12,13)，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，且α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，求角β的值．
[解] 由α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs(α－β)＝－eq \f(12,13)，
得sin(α－β)＝eq \f(5,13).
由α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，且cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，
得sin(α＋β)＝－eq \f(5,13).
cs2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]
＝cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(5,13)＝－1.
因为α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
所以2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))).所以2β＝π.故β＝eq \f(π,2).
公式
cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角