2020-2021学年第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）授课ppt课件

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知识点　二分法[巧梳理]1．二分法
2.二分法求函数零点近似值的步骤
[微点拨](1)二分法的求解原理是函数零点存在定理；(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解．
[微体验]1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以选取的初始区间是(　　)A．[－2，1]　　　　　B．[－1，0]C．[0，1] D．[1，2]
学习任务一　二分法的概念[例1]　(1)(链接教材P155习题T1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　 　)(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　)A．9　　B．8　　 　C．7　　 D．6
解析：(1)根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值．(2)由题意知Δ＝62－4c＝0，即c＝9.
运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右两侧的函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
[跟踪训练]1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)A．4，4B．3，4 C．5，4 D．4，3解析：D　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.
学习任务二　用二分法求函数零点的近似解[例2]　(1)(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：
根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为(　 　)A．0.625　　　　　　B．0.093 75C．0.125 D．0.096(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是______________．解析：(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1，2)．
二分法求函数零点的关注点(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求．(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解．
[跟踪训练]2．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：根据上述数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似解(精确度0.01)为________．解析：由参考数据知，f(1.5625)≈0.003＞0，f(1.556 25)≈－0.029＜0，即f(1.5625)·f(1.556 25)＜0，且1.5625－1.556 25＝0.006 25＜0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.5625.答案：1.5625
学习任务三　二分法的实际应用[例3]　某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？解：如图，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，则断定故障在BC段；再到BC段的中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段的中点E检查，如此，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50 m～100 m之间，即可迅速找到故障所在．
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等．
[跟踪训练]3．从A地到B地的海底电缆有15个接点，现某一个接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点.
1．下列函数能用二分法求零点的是(　　)解析：C　A没有零点；B，D有零点，但不满足f(a)·f(b)<0，故选C.
2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)A．(－1，0)　　　　B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为(　　)A．1.5B．1.375C．1.438 D．1.25
解析：C　∵f(1.4065)<0，f(1.438)>0，∴f(1.4065)·f(1.438)<0，∴该方程的根在区间(1.4065，1.438)内，又∵|1.4065－1.438|＝0.0315<0.05，∴方程的近似根可以是1.438.
基础巩固练1．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是(　　)A．(1，1.25)　　　　B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)解析：B　由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)f(1.5)<0，易知函数f(x)的图象是连续不断 的．根据零点存在定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B.
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)A．|a－b|<0.1B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.01 D．|a－b|＝0.001解析：B　据二分法的步骤知当|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　)A．0.6B．0.75C．0.7 D．0.8
6．(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　)A．2.52B．2.56C．2.66 D．2.75解析：AB　由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解在(2.5，2.5625)内．因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选AB.
7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．解析：设函数f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，∴下一个有根区间是(2，3)．答案：(2，3)
8．在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现假币．解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币．答案：3
9．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)解：f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0，1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)只有一个零点x0∈(0，1)．取区间(0，1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5，1)．取区间(0.5，1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156 25<0，∴f(0.75)·f(1)<0，即x0∈(0.75，1)．
取区间(0.75，1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.∴f(0.75)·f(0.875)<0，即x0∈(0.75，0.875)．取区间(0.75，0.875)的中点x4＝0.8125.f(0.8125)＝0.073>0，∴f(0.75)·f(0.8125)<0，即x0∈(0.75，0.8125)，而|0.8125－0.75|<0.1，所以f(x)的零点的近似值可取为0.75.
综合应用练10．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为(　　)A．1.125B．1.3125C．1.4375 D．1.468 75
解析：B　因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25，1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解．
11．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)A．5B．6C．7 D．8
13．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点．(精确度为0.1)解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又函数f(x)在[1，2]内是增函数，所以函数f(x)在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2]．下面用二分法求解．
因为|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.(答案不唯一)