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人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试课后复习题
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这是一份人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试课后复习题，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题12.5 全等三角形“一线三等角”模型（专项训练）
一、选择题
1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（ ）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
2．（2022•沙坪坝区校级开学）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5）
3．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
5．（2021秋•定远县校级期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，则BE的长度为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．（2021秋•兰陵县期末）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
7．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，由AB＝AC，∠B＝∠C，便可证得△BAD≌△CAE，其全等的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8．（2021秋•龙湾区期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
二、 填空题
9．（2022春•海曙区期末）如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 ．
10．（2021秋•大连期末）如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 ．
11．（2022春•金牛区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 cm．
12．（2021秋•西平县期中）如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），以AB为直角边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是 ．
三、解答题
13．（2022春•钢城区期末）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
求证：△ABE≌△CAF．
14．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．
15．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
16．（2021秋•赫山区期末）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点N，求证：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE＝AD+BE．
17.（2021秋•柘城县期中）已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；
（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．
18.（2021秋•绿园区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．
19．（2021秋•公安县期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；
（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
20．（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
21．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 度；
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
专题12.5 全等三角形“一线三等角”模型（专项训练）答案
一、选择题
1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（ ）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
【答案】C
【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，
故选：C．
2．（2022•沙坪坝区校级开学）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5）
【答案】D
【解答】解：作BD⊥x轴于D，
∵B（6，1），
∴BD＝1，OD＝6，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCD＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC，
∵∠AOC＝∠BDO，
∴△ACO≌△CBD（AAS），
∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，
∴A（0，5），
故选：D．
3．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解答】解：∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BD＝CE，故①正确；
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE，
∴∠BAD+∠BCE＝90°，
即∠BAD与∠BCE互余，故②正确；
∵△ABD≌△BCE，
∴AD＝EB，DB＝CE，
∵BE+D＝DE，
∴AD+CE＝DE，故③正确．
故选：D．
4．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
【答案】D
【解答】解：过点N作ND⊥y轴于点D，
∵P（0，2），N（2，﹣2），
∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，
∴PD＝4，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴∠MPO+∠DPN＝90°，
又∵∠DPN+∠PND＝90°，
∴∠MPO＝∠PND，
又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，
∴△MOP≌△PDN（AAS），
∴OM＝PD＝4，
∴M（﹣4，0），
故选：D．
5．（2021秋•定远县校级期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，则BE的长度为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【解答】解：∵∠ABE＝∠AED＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠A＝∠DEC，
∵∠ABE＝∠ECD＝90°，AE＝ED，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE＝8
∵BC＝20，
∴BE＝BC﹣CE＝20﹣8＝12，
故选：A．
6．（2021秋•兰陵县期末）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），
∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，
∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，
故选：B．
7．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，由AB＝AC，∠B＝∠C，便可证得△BAD≌△CAE，其全等的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】C
【解答】解：在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（ASA），
故选：C．
8．（2021秋•龙湾区期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
【答案】D
【解答】解：过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，
∵△CBP是等腰直角三角形，
∴BC＝BP，∠CBP＝90°，
∴∠HBC+∠OBP＝90°，
∵∠CBH+∠HCB＝90°，
∴∠OBP＝∠HCB，
在△OBP和△HCB中，
，
∴△OBP≌△HCB（AAS），
∴OB＝CH＝4，OP＝HB，
∵∠ODC＝45°，CG⊥OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴CG＝DG，
∴PD＝GD﹣PG＝CG﹣（OP﹣4）＝4+OP﹣（OP﹣4）＝8，
∴PD的长度保持不变，
故选：D．
二、填空题
9．（2022春•海曙区期末）如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 ．
【答案】8
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB＝CE，BE＝CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF＝CD，
∴BE＝CF＝AB，
∵BE+CE＝BC＝12，
∴AB+AB＝12，
∴AB＝8，
故答案为：8．
10.（2021秋•大连期末）如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 ．
【答案】（﹣5，0）
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作x轴的平行线交AE的延长线于点F，则四边形DCFE是矩形，
∵点A的坐标是（1，2），
∴OE＝1，AE＝2，
∵CD⊥BD，AE⊥OE，
∴∠ODC＝∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝∠DOC，OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴AE＝DC＝2，OE＝OD＝1，
∴DE＝CF＝2，
∵∠ACB＝∠AFC＝90°，∠BOC＝∠AOE，
∴∠CBD＝∠CAF，
又∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（AAS），
∴BD＝AF，CD＝CF＝2，
∴AF＝4，
∴BD＝4，
∴OB＝BD+DO＝4+1＝5，
∴B（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
11． （2022春•金牛区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长
为 cm．
【答案】18或28
【解答】解：设BM＝3tcm，则BN＝4tcm，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况：
情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，
∵BN＝AM，AB＝42cm，
∴4t＝42﹣3t，
解得：t＝6，
∴AC＝BM＝3t＝3×6＝18cm；
情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，
∵BM＝AM，AB＝42cm，
∴3t＝42﹣3t，
解得：t＝7，
∴AC＝BN＝4t＝4×7＝28cm，
综上所述，AC＝18cm或AC＝28cm．
12.（2021秋•西平县期中）如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），以AB为直角边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是 ．
【答案】（1，﹣4）
【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠DBC＝90°，
∴∠OAB＝∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
，
∴△OAB≌△DBC（AAS），
∴BD＝AO，DC＝OB．
∵A（3，0），B（0，﹣1），
∴BD＝AO＝3，DC＝OB＝1，OD＝OB+BD＝4，
∴点C的坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
三、解答题
13．（2022春•钢城区期末）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
求证：△ABE≌△CAF．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF+∠BAE＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠CFA＝∠BEA＝90°，
∴∠C+∠CAF＝90°，
∴∠C＝∠BAE，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
14．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：
∵△ACD≌△CBE，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵CE＝CD+DE，
∴AD＝BE+DE．
15.（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，
∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠ECA＝∠BAD，
在△BAD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD＝3，
∵DE＝AD+AE＝10，
∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．
∴CE＝7．
16．（2021秋•赫山区期末）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点N，求证：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE＝AD+BE．
【解答】证明：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵，
∴△ADC≌△CEB；
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE，AD＝EC，
∵DE＝DC+EC，
∴DE＝BE+AD．
17．（2021秋•柘城县期中）已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；
（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．
【解答】解：（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，
∵A（0，﹣4），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠CBD+∠OBA＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∵AB＝BC，∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴△BCD≌△ABO（AAS），
∴CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，
∴OD＝3，
∴点C坐标为（﹣3，1）；
（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，
∵A（0，0），B（3，1），
∴OD＝3，BD＝1，
∵∠ABC＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠CBE+∠OBD＝90°，∠BAD+∠OBD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，
∴DE＝4，
∴点C的横坐标为3﹣1＝2，
∴点C坐标为（2，4）．
18．（2021秋•绿园区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．
【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．
理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
19．（2021秋•公安县期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；
（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
【解答】（1）解：如图1，过B作BF⊥x轴于F，
则∠BFC＝90°，
∵点A（0，5），点C（﹣2，0），
∴OA＝5，OC＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，
∵∠COA＝90°，
∴∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠OAC＝∠FCB，
∵∠COA＝∠BFC＝90°，
∴△CFB≌△AOC（AAS），
∴FB＝OC＝2，FC＝OA＝5，
∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，
∴点B的坐标为（3，﹣2）；
（2）证明：如图2，过B作BE⊥BC交x轴于E，
则∠CBE＝90°＝∠ACM，
由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，
∴△BCE≌△CAM（ASA），
∴CE＝AM，BE＝CM，
∵BN＝CM，
∴BE＝BN，
∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBE＝∠DBN＝45°，
又∵BD＝BD，
∴△BDE≌△BDN（SAS），
∴DE＝DN，
∵CD+DE＝CE，
∴CD+DN＝CE，
∴CD+DN＝AM；
（3）解：CP的长度不变化，CP＝，理由如下：
如图3，过E作EG⊥x轴于G，
则∠EGC＝90°＝∠COA，
∴∠GEC+∠GCE＝90°，
∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，
∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，
∴∠GEC＝∠OCA，
∴△GEC≌△OCA（AAS），
∴GC＝OA＝5，GE＝OC，
∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，
∴OC＝CF，∠FCP＝90°，
∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，
又∵∠EPG＝∠FPC，
∴△EPG≌△FPC（AAS），
∴GP＝CP＝GC＝．
20.（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AF⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
在△ADF与△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF，
故答案为：相等，垂直；
（2）成立，理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
∴∠DAF＝∠CBD，
在△ADF与△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF．
21．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 度；
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵AB∥MB，
∴∠2＝∠B＝45°，
故答案为45；
（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，
∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．
∴∠1+∠CAM＝90°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠CAM，
同理：∠1＝∠CBN，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（ASA），
∴AM＝CN，MC＝BN，
∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；
（3）MN＝BN﹣AM，理由：
同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），
∴AM＝CN，MC＝BN，
∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．
专题12.5 全等三角形“一线三等角”模型（专项训练）
一、选择题
1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（ ）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
2．（2022•沙坪坝区校级开学）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5）
3．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
5．（2021秋•定远县校级期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，则BE的长度为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．（2021秋•兰陵县期末）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
7．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，由AB＝AC，∠B＝∠C，便可证得△BAD≌△CAE，其全等的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8．（2021秋•龙湾区期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
二、 填空题
9．（2022春•海曙区期末）如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 ．
10．（2021秋•大连期末）如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 ．
11．（2022春•金牛区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 cm．
12．（2021秋•西平县期中）如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），以AB为直角边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是 ．
三、解答题
13．（2022春•钢城区期末）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
求证：△ABE≌△CAF．
14．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．
15．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
16．（2021秋•赫山区期末）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点N，求证：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE＝AD+BE．
17.（2021秋•柘城县期中）已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；
（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．
18.（2021秋•绿园区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．
19．（2021秋•公安县期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；
（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
20．（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
21．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 度；
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
专题12.5 全等三角形“一线三等角”模型（专项训练）答案
一、选择题
1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（ ）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
【答案】C
【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，
故选：C．
2．（2022•沙坪坝区校级开学）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5）
【答案】D
【解答】解：作BD⊥x轴于D，
∵B（6，1），
∴BD＝1，OD＝6，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCD＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC，
∵∠AOC＝∠BDO，
∴△ACO≌△CBD（AAS），
∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，
∴A（0，5），
故选：D．
3．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解答】解：∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BD＝CE，故①正确；
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE，
∴∠BAD+∠BCE＝90°，
即∠BAD与∠BCE互余，故②正确；
∵△ABD≌△BCE，
∴AD＝EB，DB＝CE，
∵BE+D＝DE，
∴AD+CE＝DE，故③正确．
故选：D．
4．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
【答案】D
【解答】解：过点N作ND⊥y轴于点D，
∵P（0，2），N（2，﹣2），
∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，
∴PD＝4，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴∠MPO+∠DPN＝90°，
又∵∠DPN+∠PND＝90°，
∴∠MPO＝∠PND，
又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，
∴△MOP≌△PDN（AAS），
∴OM＝PD＝4，
∴M（﹣4，0），
故选：D．
5．（2021秋•定远县校级期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，则BE的长度为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【解答】解：∵∠ABE＝∠AED＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠A＝∠DEC，
∵∠ABE＝∠ECD＝90°，AE＝ED，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AB＝CE＝8
∵BC＝20，
∴BE＝BC﹣CE＝20﹣8＝12，
故选：A．
6．（2021秋•兰陵县期末）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），
∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，
∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，
故选：B．
7．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，由AB＝AC，∠B＝∠C，便可证得△BAD≌△CAE，其全等的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】C
【解答】解：在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（ASA），
故选：C．
8．（2021秋•龙湾区期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
【答案】D
【解答】解：过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，
∵△CBP是等腰直角三角形，
∴BC＝BP，∠CBP＝90°，
∴∠HBC+∠OBP＝90°，
∵∠CBH+∠HCB＝90°，
∴∠OBP＝∠HCB，
在△OBP和△HCB中，
，
∴△OBP≌△HCB（AAS），
∴OB＝CH＝4，OP＝HB，
∵∠ODC＝45°，CG⊥OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴CG＝DG，
∴PD＝GD﹣PG＝CG﹣（OP﹣4）＝4+OP﹣（OP﹣4）＝8，
∴PD的长度保持不变，
故选：D．
二、填空题
9．（2022春•海曙区期末）如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 ．
【答案】8
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB＝CE，BE＝CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF＝CD，
∴BE＝CF＝AB，
∵BE+CE＝BC＝12，
∴AB+AB＝12，
∴AB＝8，
故答案为：8．
10.（2021秋•大连期末）如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为 ．
【答案】（﹣5，0）
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作x轴的平行线交AE的延长线于点F，则四边形DCFE是矩形，
∵点A的坐标是（1，2），
∴OE＝1，AE＝2，
∵CD⊥BD，AE⊥OE，
∴∠ODC＝∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝∠DOC，OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴AE＝DC＝2，OE＝OD＝1，
∴DE＝CF＝2，
∵∠ACB＝∠AFC＝90°，∠BOC＝∠AOE，
∴∠CBD＝∠CAF，
又∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（AAS），
∴BD＝AF，CD＝CF＝2，
∴AF＝4，
∴BD＝4，
∴OB＝BD+DO＝4+1＝5，
∴B（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
11． （2022春•金牛区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长
为 cm．
【答案】18或28
【解答】解：设BM＝3tcm，则BN＝4tcm，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况：
情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，
∵BN＝AM，AB＝42cm，
∴4t＝42﹣3t，
解得：t＝6，
∴AC＝BM＝3t＝3×6＝18cm；
情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，
∵BM＝AM，AB＝42cm，
∴3t＝42﹣3t，
解得：t＝7，
∴AC＝BN＝4t＝4×7＝28cm，
综上所述，AC＝18cm或AC＝28cm．
12.（2021秋•西平县期中）如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），以AB为直角边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是 ．
【答案】（1，﹣4）
【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠DBC＝90°，
∴∠OAB＝∠DBC．
在△OAB和△DBC中，
，
∴△OAB≌△DBC（AAS），
∴BD＝AO，DC＝OB．
∵A（3，0），B（0，﹣1），
∴BD＝AO＝3，DC＝OB＝1，OD＝OB+BD＝4，
∴点C的坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
三、解答题
13．（2022春•钢城区期末）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
求证：△ABE≌△CAF．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF+∠BAE＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠CFA＝∠BEA＝90°，
∴∠C+∠CAF＝90°，
∴∠C＝∠BAE，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
14．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：
∵△ACD≌△CBE，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵CE＝CD+DE，
∴AD＝BE+DE．
15.（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，
∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠ECA＝∠BAD，
在△BAD与△ACE中，
，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD＝3，
∵DE＝AD+AE＝10，
∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．
∴CE＝7．
16．（2021秋•赫山区期末）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点N，求证：
（1）△ADC≌△CEB；
（2）DE＝AD+BE．
【解答】证明：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵，
∴△ADC≌△CEB；
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE，AD＝EC，
∵DE＝DC+EC，
∴DE＝BE+AD．
17．（2021秋•柘城县期中）已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；
（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．
【解答】解：（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，
∵A（0，﹣4），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠CBD+∠OBA＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∵AB＝BC，∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴△BCD≌△ABO（AAS），
∴CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，
∴OD＝3，
∴点C坐标为（﹣3，1）；
（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，
∵A（0，0），B（3，1），
∴OD＝3，BD＝1，
∵∠ABC＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠CBE+∠OBD＝90°，∠BAD+∠OBD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，
∴DE＝4，
∴点C的横坐标为3﹣1＝2，
∴点C坐标为（2，4）．
18．（2021秋•绿园区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．
【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．
理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
19．（2021秋•公安县期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；
（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．
【解答】（1）解：如图1，过B作BF⊥x轴于F，
则∠BFC＝90°，
∵点A（0，5），点C（﹣2，0），
∴OA＝5，OC＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，
∵∠COA＝90°，
∴∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠OAC＝∠FCB，
∵∠COA＝∠BFC＝90°，
∴△CFB≌△AOC（AAS），
∴FB＝OC＝2，FC＝OA＝5，
∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，
∴点B的坐标为（3，﹣2）；
（2）证明：如图2，过B作BE⊥BC交x轴于E，
则∠CBE＝90°＝∠ACM，
由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，
∴△BCE≌△CAM（ASA），
∴CE＝AM，BE＝CM，
∵BN＝CM，
∴BE＝BN，
∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBE＝∠DBN＝45°，
又∵BD＝BD，
∴△BDE≌△BDN（SAS），
∴DE＝DN，
∵CD+DE＝CE，
∴CD+DN＝CE，
∴CD+DN＝AM；
（3）解：CP的长度不变化，CP＝，理由如下：
如图3，过E作EG⊥x轴于G，
则∠EGC＝90°＝∠COA，
∴∠GEC+∠GCE＝90°，
∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，
∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，
∴∠GEC＝∠OCA，
∴△GEC≌△OCA（AAS），
∴GC＝OA＝5，GE＝OC，
∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，
∴OC＝CF，∠FCP＝90°，
∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，
又∵∠EPG＝∠FPC，
∴△EPG≌△FPC（AAS），
∴GP＝CP＝GC＝．
20.（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AF⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
在△ADF与△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF，
故答案为：相等，垂直；
（2）成立，理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
∴∠DAF＝∠CBD，
在△ADF与△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴CD⊥DF．
21．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 度；
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵AB∥MB，
∴∠2＝∠B＝45°，
故答案为45；
（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，
∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．
∴∠1+∠CAM＝90°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠CAM，
同理：∠1＝∠CBN，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（ASA），
∴AM＝CN，MC＝BN，
∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；
（3）MN＝BN﹣AM，理由：
同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），
∴AM＝CN，MC＝BN，
∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．
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