八年级上册 数学 第十一章 专题08 内外角平分线问题（含解析）

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专题08 内外角平分线问题

类型一 一内一外求角
1．如图∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E．

（1）求∠E的度数；
（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由．
2．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（       ）

A．10° B．15° C．20° D．30°
3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠BAC的度数是____________．

4．如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度数为（）

A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能确定
5．如图，在中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，则∠M的大小为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图，已知为中的平分线，为的外角的平分线，与交于点．若∠ABD=20°，，则（       ）

A．70° B．90° C．80° D．100°
7．如图所示，在中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的角平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB=（       ）

A．50° B．45° C．40° D．35°
8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，⋯，∠A3BC与∠A3CD的平分线相交于点A4，得∠A4，则∠A4的度数为（　　）

A．5° B．10° C．15° D．20°
类型二 内外角分线进阶
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）

A．10° B．15° C．30° D．40°
10．如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝_____°．

11．如图，等腰中，顶角，点E，F是内角与外角三等分线的交点，连接EF，则_________．

12．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__．

13．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数

类型三 综合解答
14．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数．

15．如图，∠CBF, ∠ACG是△ABC的外角, ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD，DE交于点D,E.
（1）∠DBE的度数;
（2）若∠A=70,求∠D的度数;
（3）若∠A=,求∠E的度数(用含的式子表示).

16．已知，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A＝α，∠D＝β，
（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F＝____（用含α，β的式子表示）；
（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F，且∠F＝___（用含α，β的式子表示）；
（3）当α，β满足条件___时，不存在∠F．

17．如图，，点、分别在、上运动（不与点重合）．

（1）如图1，是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点．
①若，则为多少度？请说明理由．
②猜想：的度数是否随、的移动发生变化？请说明理由．
（2）如图2，若，，则的大小为 度（直接写出结果）；
（3）若将“”改为“（）”，且，，其余条件不变，则的大小为 度（用含、的代数式直接表示出米）．


专题08 内外角平分线问题答案

类型一 一内一外求角
1．如图∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E．

（1）求∠E的度数；
（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由．
【答案】（1）∠E=20°；（2）∠A=2∠E．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质进行解答即可；
（2）根据（1）中的推导过程进行推论即可．
【详解】
（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，
由三角形的外角性质得，
∠ACD=∠A+∠ABC，
∠DCE=∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）,
∴∠A=2∠E，
∵∠A=40°，
∴∠E=20°.   
（2）∠A=2∠E.
理由如下：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，
由三角形的外角性质得，
∠ACD=∠A+∠ABC，
∠DCE=∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE）,
∴∠A=2∠E，
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（       ）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形外角性质得，，则，利用等式的性质得到，然后把的度数代入计算即可．
【详解】
解答：解：∵的平分线与的平分线交于点D，

∴，，
∵，
即，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．
3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠BAC的度数是____________．

【答案】80°.
【解析】
【详解】
试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，然后整理得到∠PCD=∠A，再代入数据计算即可得解．
在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PCB，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，
∴∠P+∠PCB=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC=∠A+∠PCB，
∴∠PCD=∠A，
∴∠BPC=40°，
∴∠A=2×40°=80°，
即∠BAC=80°．
考点：三角形内角和定理．
4．如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度数为（）

A．90°+m°-n° B．90°-m°+n° C．90°-m°-n° D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由角平分线分别求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠D.
【详解】
∵BD平分∠ABC
∴∠DBC=∠ABC=m°
∵∠ACB=n°
∴∠ACE=180°-n°
又∵CD平分∠ACE
∴∠ACD=∠ACE=
在△BCD中，∠DBC=m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=，
∴∠D=
故选C.
【点睛】
本题考查三角形中的角度计算，熟练运用三角形内角和定理是关键.
5．如图，在中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，则∠M的大小为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解析】
【分析】
先由 结合角平分线求解 再利用角平分线与求解，利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】
解：∵∠BAC=80°，
∴
平分


∠ABC=40°，平分，
∴∠ABM=20°，
∴∠M=
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，熟记定理和概念是解题的关键．
6．如图，已知为中的平分线，为的外角的平分线，与交于点．若∠ABD=20°，，则（       ）

A．70° B．90° C．80° D．100°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线定义求出∠DCE、∠ACE、∠DBC，根据三角形外角性质求出∠A、∠D，即可求出答案．
【详解】
解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，∠ABD=20°，∠ACD=55°，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=20°，∠ACD=∠DCE=∠ACE=50°，
∴∠ABC=40°，∠ACE=100°，
∴∠A=∠ACE-∠ABC=60°，∠D=∠DCE-∠DBC=50°-20°=30°，
∴∠A+∠D=90°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7．如图所示，在中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的角平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB=（       ）

A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作，，，利用角平分线性质结合三角形内角和即可得出答案．
【详解】
解：如图所示，过点E作，，，

∴BE，CE是角平分线，
∴，．
∴．
∵，，
∴是的角平分线．
∵，
∴，，
∴，由三角形内角和可得：．
故答案为：45．
【点评】
本题考查的知识点是角平分线性质，综合利用角平分线的性质是解此题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，⋯，∠A3BC与∠A3CD的平分线相交于点A4，得∠A4，则∠A4的度数为（　　）

A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，，依此类推可知的度数
【详解】
解：与的平分线交于点，
，
，
，
同理可得，，

．
故选：A．
【点睛】
本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系．
类型二 内外角分线进阶
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）

A．10° B．15° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得 的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可．
【详解】
解：，，
．
又的角平分线与的外角平分线相交于点，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是”是解题的关键．
10．如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝_____°．

【答案】42
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ACO＝∠ACB，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠ACE，
∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝×180°＝90°，
∵∠DOC＝48°，
∴∠D＝90°﹣48°＝42°，
故答案为：42．

【点睛】
本题考查了角平分线和三角形内角和，解题关键是熟练运用相关性质进行计算求角．
11．如图，等腰中，顶角，点E，F是内角与外角三等分线的交点，连接EF，则_________．

【答案】14
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求∠ABC和∠ACB，再根据三角形外角的性质可求∠ACD，再根据三等分线的定义与和差关系可求∠FBC和∠BCF，再根据三角形的内角和定理可求∠BFC．
【详解】
解：∵等腰△ABC中，顶角∠A=42，
∴∠ABC=∠ACB=×（180-42）=69，
∴∠ACD=111，
∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，
∴∠FBC=×69=23，∠FCA=×111=74，
∴∠BCF=143，
∴∠BFC=180-23-143=14．
故答案为：14．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解答此题的关键是找到角与角之间的关系．
12．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝__，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝__，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为__．

【答案】     48°，     24°，     96°×
【解析】
【分析】
利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算．
【详解】
解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1＝96°，
∴∠A1＝48°，
同理可得∠A1＝2∠A2，
即∠A＝2×2∠A2＝96°，
∴∠A2＝24°，
∴∠A＝2n，
∴ ．
故答案为48°，24°，96°×．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
13．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数

【答案】∠P=25°．
【解析】
【分析】
延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数．
【详解】
解：延长ED，BC相交于点G．

在四边形ABGE中，
∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°，
∴∠P=∠FCD-∠CDP=（∠DCB-∠CDG）
=∠G=×50°=25°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线性质，外角的性质，熟练运用外角的性质是本题的关键．
类型三 综合解答
14．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数．

【答案】不变，45°
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
【详解】
解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠4＝∠ABY＝（90°+∠OAB）＝45°+∠OAB，
即∠4＝45°+∠1，
又∵∠4＝∠C+∠1，
∴∠C＝45°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
15．如图，∠CBF, ∠ACG是△ABC的外角, ∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC,∠CBF的平分线BD，DE交于点D,E.
（1）∠DBE的度数;
（2）若∠A=70,求∠D的度数;
（3）若∠A=,求∠E的度数(用含的式子表示).

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得 再根据平角的定义可得出结论；
（2）根据角平分线的定义可得 再根据三角形外角的性质可推出则可求出∠D的度数；
（3）由第（2）问的结论可知，再加上第（1）问的结论，则可表示出∠E的度数.
【详解】
（1）∵BD平分，BE平分
∴
∵
∴
（2）∵CD平分, BD平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（3）由（2）知
∵
∴
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义及三角形外角的性质，掌握角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键.
16．已知，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A＝α，∠D＝β，
（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F＝____（用含α，β的式子表示）；
（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F，且∠F＝___（用含α，β的式子表示）；
（3）当α，β满足条件___时，不存在∠F．

【答案】（1）（α+β）﹣90°；
（2）90°﹣（α+β）；
（3）α+β＝180°．
【解析】
【分析】
（1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=∠ABC，∠FCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
（2）与（1）的思路相同，得到∠FBC=∠ABC，∠FCE=∠DCE，由外角性质，得到∠F+∠FBC=∠FCE，通过等量代换，求解即可；
（3）根据∠F的表示，∠F为0时，不存在．
【详解】
解：（1）如图：

由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，
∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，
∴∠F+∠FBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，
∴∠F＝（∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A＝α，∠D＝β，
∴∠F＝（α+β）﹣90°；
（2）如图3，

由（1）可知，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
∴∠FCE＝∠F+∠FBC，
∵∠FBC＝（360°﹣∠ABC），∠FCE＝180°﹣∠DCE，
∴∠F=∠FCE﹣∠FBC=180°﹣（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）﹣（360°﹣∠ABC），
∴∠F=90°﹣（∠A+∠D）
∴∠F＝90°﹣（α+β）；
（3）当α+β＝180°时，
∴∠F＝90°﹣，
此时∠F不存在．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
17．如图，，点、分别在、上运动（不与点重合）．

（1）如图1，是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点．
①若，则为多少度？请说明理由．
②猜想：的度数是否随、的移动发生变化？请说明理由．
（2）如图2，若，，则的大小为 度（直接写出结果）；
（3）若将“”改为“（）”，且，，其余条件不变，则的大小为 度（用含、的代数式直接表示出米）．
【答案】（1）①45°，理由见解析；②∠D的度数不变；理由见解析（2）30 ；（3）
【解析】
【分析】
（1）①先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠CBA=∠ABN=75°、∠BAD=∠BAO=30°，最后由外角性质可得∠D度数；
②设∠BAD=α，利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；
（2）设∠BAD=α，得∠BAO=3α，继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根据∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；
（3）设∠BAD=β，分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=+β，由∠D=∠ABC-∠BAD得出答案．
【详解】
解：（1）①45°
∵∠BAO=60°，∠MON=90°，
∴∠ABN=150°，
∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，
∴∠CBA=∠ABN=75°，∠BAD=∠BAO=30°
∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，
②∠D的度数不变．
理由是：设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，     
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∴∠D=∠ABC－∠BAD=45°+α-α=45°；
（2）设∠BAD=α，
∵∠BAD=∠BAO，
∴∠BAO=3α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，
∵∠ABC=∠ABN，
∴∠ABC=30°+α，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°；
（3）设∠BAD=β，
∵∠BAD=∠BAO，
∴∠BAO=nβ，
∵∠AOB=α°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，
∵∠ABC=∠ABN，
∴∠ABC=+β，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=+β-β=.
【点睛】
本题主要考查角平分线和外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性质是解题的关键．