高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算习题

6.2.4向量的数量积 (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·全国·高一课时练习）向量与的夹角为，，，在上投影为（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】D

【详解】

解：在上投影为.

故选：D

2．（2022·云南省文山壮族苗族自治州第一中学高一期末）在边长为的正六边形中，若，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【详解】

如图在正六边形中，连接对角线

则正六边形是由6个全等的等边三角形构成.

所以

所以，解得

故选： C．

3．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））在菱形中，， ，若为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由题有，，，

∴，

故选A.

4．（2022·全国·模拟预测（文））在等腰直角三角形中，角为直角，且，则（    ）

A． B． C．-1 D．1

【答案】C

【详解】

由题意，等腰直角中，角为直角，且，

则.

故选：C.

5．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））已知向量，满足，且与夹角为，则（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为向量，满足，且与夹角为，

所以，

故选：B.

6．（2022·山东·高三阶段练习）已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若，则实数（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由可设，则.

因为，

所以，

又，

所以.

故选：A.

7．（2022·北京·北师大二附中未来科技城学校高一期中）已知菱形 的边长为 ，，点 ， 分别在边 ， 上，，．若 ，则 的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

如图，

，，且，

，

，

由题意可得，

，

，

，

，

当且仅当时取等号，

的最小值为.

故选：A

8．（2022·浙江省桐庐中学高三开学考试）已知，，，若对任意实数，（）恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：，

，，

，

对任意实数，，

对任意的实数，，

对任意的实数，恒成立，

，解得或，

因为，所以

实数的范围为：．

故选：．

二、填空题

9．（2022·浙江杭州·高三期中）已知为单位向量，且，设向量与向量的夹角为，则___________.

【答案】

【详解】

由题可知，为单位向量，且，

，

故答案为：

10．（2022·广东·广州市禺山高级中学高二阶段练习）不共线的三个平面向量，，两两所成的角相等，且，，则___________.

【答案】2

【详解】

解：由题意三个平面向量，，两两所成的角相等，可得任意两向量的夹角是，

又同，，

，

故答案为：2.

11．（2022·福建师大附中高三阶段练习）已如，，，，则实数的值为_________．

【答案】

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

即，所以，

所以，可得：，

故答案为：.

三、解答题

12．（2022·山东兰山·高一期末）已知平面向量，满足，，.

（1）求；

（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）依题意，，得，

，

所以；

（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，

而当向量与同向时，可知，

综上所述的取值范围为.

13．（2022·河南许昌·高一期末（理））已知两个非零向量，，且，．

（1）求，的夹角；

（2）若，求（）的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由题意，，可得，

又，则，即，

∴，又，

∴.

（2），由（1）且，知：，，

∴且，故当时，有.

B应考能力

14．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，则，

所以，，所以，，

因此，

.

故选：C.

15．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习（理））如图，在平行四边形中，，，延长至点，且，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【详解】

如图，在平行四边形中，，，，，

所以，

由图知：，

，

所以

，

故选：C．

16．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）（1）请你利用数量积的定义（非坐标运算公式）证明：；

（2）已知向量与的夹角为，，，记，，若，求实数k的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）设与的夹角为，

若，则与共线且同向，所以与的夹角即为与的夹角，

则与共线且同向，所以与的夹角即为与的夹角，

左边，

右边，

所以左边＝右边，故，

若，则与共线且反向，所以与的夹角即为与的夹角的补角，

则与共线且反向，所以与的夹角即为与的夹角的补角，

左边，

右边，

所以左边＝右边，故，

若，则，，

左边，右边，故，

综上：.

（2）因为，，且，

所以，即，

又因为向量与的夹角为，，，

所以，，，

所以，解得.

17．（2022·浙江·高一期中）如图，在中，已知，且，，．

（1）求；

（2）设与交于点，求的余弦值大小．

【答案】（1）16；（2）．

【详解】

解：（1）因为，

所以

所以

因为，所以

所以；

（2）因为，所以，而，

所以，

所以．

C新素养 新题型

18．(多选)（2022·江苏·高三阶段练习）对平面向量，，有（       ）

A．若和为单位向量，则

B．若，则∥

C．若，在上的投影向量为，则的值为2

D．已知，为实数，若，则与共线

【答案】BC

【详解】

向量既有大小又有方向，单位向量只是知道向量长度，不知道方向．∴与可能相等也可能不相等，A错．

，，，或，所以，共线，B对．

对于C，因为，在上的投影向量为，所以，所以，所以C正确，

若，使得，则与可共线也可不共线，D错．

故选：BC．

19．(多选)（2022·广东广州·高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则O是外心 B．若，则P是垂心

C．若，则N是重心 D．若，则I是内心

【答案】ABC

【详解】

根据外心的定义，易知A正确；

对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；

对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；

对D，由题意，，则I是垂心，故D错误.

故选：ABC.

20．(多选)（2022·辽宁实验中学高三阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，若点为线段上的动点（包含端点），则的取值可能为（       ）

A．4 B． C．3 D．

【答案】BCD

【解析】

【详解】

,

因为，，，

所以，

连接，因为，

所以≌，所以，

所以，则，

设，则，

延长CB，DA交于点O，则，即，

，，，，

所以，

因为，所以，

对于A，，所以A错误，

对于B，，所以B正确，

对于C，，所以C正确，

对于D，，所以D正确，

故选：BCD