2021学年6.2 平面向量的运算课时训练

6.2.1向量的加法运算 (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·全国·高一课时练习）化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

对于①：，

对于②：，

对于③：，

对于④：，

所以结果为的个数是，

故选：B

2．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）向量化简后等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由,

故选：A

3．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（ ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【详解】

A，由图可知与相交，所以与不是相反向量，故A错误；

B，与共线，所以与不共线，所以与不共线，故B错误；

C，，故C错误；

D，连接，由五角星的性质可得为平行四边形，

根据平行四边形法则可得，故D正确.

故选：D

4．（2022·全国·高一课时练习）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（   ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：由平行向量的定义可知项正确；

因为和的方向相反，所以，故项正确；

由相反向量的定义可知，故选项正确；

由相反向量的定义知，故项错误；

故选：C．

5．（2022·全国·高一课时练习）已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

对于A：，故A错误；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D错误；

故选：B

6．（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（文））在平行四边形中，，若，则=（       ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【详解】

，则平分，则四边形为菱形.

且，由，则,

故选：B.

7．（2022·江苏·高一）向量﹒化简后等于（ ）

A． B．0 C． D．

【答案】D

【详解】

, 故选D.

8．（2022·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）设P是所在平面内的一点，，则

A． B． C． D．

【答案】B

移项得.故选B

9．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是______．

①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；

②单位向量一定是相等向量；

③相反向量一定不相等；

④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是，

⑤模为0的向量方向是不确定的．

【答案】④⑤

【详解】

由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．

由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．

零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．

若，可得且，所以四边形为平行四边形，

当为平行四边形时，可得，所以④正确．

由模为0的向量为，其中的方向是不确定的，所以⑤正确．

故答案为：④⑤.

10．（2022·全国·高一课时练习）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)

【答案】①④##④①

【解析】

【详解】

①;

②;

③;

④.

故答案为：①④.

11．（2022·全国·高二课时练习）给出下列命题：

①零向量没有确定的方向；

②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，；

③若向量与向量的模相等，则，的方向相同或相反；

④在四边形ABCD中，必有.

其中正确命题的序号是________.

【答案】①②

【详解】

①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③，不能确定其方向，所以与的方向不能确定；④只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有.综上可知，正确命题为①②.

故答案为:①②

12．（2022·江苏·高一）若表示向南走1公里，表示向东走2公里，表示向北走3公里，则表示______.

【答案】东北方向走了公里

【详解】

因为根据向量的几何意义表示向北走了2公里，

所以表示向东走2公里，向北走了2公里的和向量，

所以根据平行四边形法则知，表示东北方向走了公里.

故答案为：东北方向走了公里

13．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知D， E， F分别是三边AB， BC， CA的中点，求证：

【答案】证明见解析

【详解】

如图，连接DE， EF， FD,

因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．

由向量加法的平行四边形法则，得①,

同理②，③，将①②③式相加，

.

14．（2022·全国·高一课时练习）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．

【答案】实际前进方向为南偏东，速度为.

【详解】

如图所示：河水速度为，，人的速度为，，

则，，，.

故实际前进方向为南偏东，速度为.

B应考能力

15．（2022·山东枣庄·高一期中）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（       ）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

【答案】D

【详解】

因为，所以，

以GA､GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，如图所示：

则，所以，点O是AB边的中点，

所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，

同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，

所以G点是三角形ABC的重心.

故选：D.

16．（2020·山东滨州·高一期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

分以下两种情况讨论：

①若点在轴上，则、关于轴对称，

由图可知，与、与、与、与关于轴对称，

此时，符合条件的点有个；

②若点在轴上，则、关于轴对称，

由图可知，与、与、与、与关于轴对称，

此时，符合条件的点有个.

综上所述，满足题中条件的点的个数为.

故选：D.

17．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，且，则实数m＝________.

【答案】1

【详解】

如图：作直径BD,连接DA、DC,HC,

由图得，

∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，

∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC

∴CH∥AD,AH∥CD,故四边形AHCD是平行四边形,∴，

又∵，

∴，对比系数得到m=1.

故答案为1.

18．（2020·全国·高一课时练习）已知长度相等的三个非零向量满足=0,则由A,B,C三点构成的△ABC的形状是_____三角形.

【答案】等边

如图,以OA,OB为邻边作菱形OAFB,则,

∴=0,∴=-.

∴O,F,C三点共线.

∵四边形OAFB是菱形,

∴CE垂直平分AB.∴CA=CB.

同理,AB=AC.

∴△ABC为等边三角形.

19．（2022·全国·高一课时练习）一艘船以的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度和船实际速度．

【答案】水流速度大小为，船实际速度为

【详解】

如图所示，表示水流速度，表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，，．

∵四边形为矩形，

∴，，

∴水流速度大小为，船实际速度为.

C新素养 新题型

20．(多选）（2022·全国·高一课时练习）（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】

由题意，，易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.

故选：AC.

21．(多选）（2022·广东·南方科技大学附属中学高一期中）已知点，，分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】

对于A选项，，正确；

对于B选项，，正确；

对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，正确；

对于D选项，，所以D错误.

故选：ABC

22．（2022·全国·高一课时练习）如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.

【答案】小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，.

【详解】

设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图：

连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，

则四边形ACBD为平行四边形，

所以就是小船在静水中的速度.

在中，，，

，

，

∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，.