高中6.2 平面向量的运算第2课时教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握数量积的运算律；

B.利用数量积的运算律进行化简、求值；

1.数学抽象：数量积的运算律；

2.逻辑推理：证明数量积的运算律；

3.数学运算：运用数量积的运算律求值；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.向量的数乘的运算律

【答案】设、为任意向量，、为任意实数，则有：

（1）   

（2）

（3）

2.平面向量的数量积定义：

平面向量的数量积的结果是数量。

二、探索新知

1.平面向量数量积的运算律

探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？

平面向量数量积的运算律

证明：（1）因为，

   所以，。

（2）当一样。

因为，

同理，当成立。

所以，。

（3）

思考：设是向量，一定成立吗？为什么？

【答案】表示与一个与共线的向量，

而表示一个与共线的向量，但与不一定共线。

所以。

结论：向量数量积不满足结合律。

例1.对任意，恒有，，对任意向量，是否也有下面类似的结论？（1）；（2）。

【解析】

例2.

例3.已知且不共线，当k为何值时，向量互相垂直？

解：互相垂直的充要条件是，

即，因为。

所以，解得。

也就是说，当时，向量互相垂直。

通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过探究，让学生证明，讲解向量数量积的运算律，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，总结

通过思考，让学生明白向量数量积不满足结合律，提高学生解决问题的能力。

通过例题进一步巩固向量数量积的运算律，提高学生运用所学知识解决问题的能力。

三、达标检测

1．给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是：________．

【解析】　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；

若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；

对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；

⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；

当a与b的夹角为0时，也有a·b>0，因此⑦错；

【答案】　①②⑥

2.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为____．

【解】　设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2，

又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b

＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2＋12|b|2cos θ，

即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有cos θ＝－.

【答案】　－

3.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？

【解析】　由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.

由c⊥d，知c·d＝0，

即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2

＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，

∴m＝，即m＝时，c与d垂直．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 理解数量积的定义；

2.向量数量积的运算律；

五、作业

习题6.2   11（1），18题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。