高中数学第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算复习练习题

6.2.4向量的数量积 (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：平面向量数列积的物理背景

如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.

其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.

从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量.

知识点2：向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角.

(2)向量的夹角范围.

(3)特殊情况：

①，与同向；

②，与垂直，记作；

③，与反向.

知识点3：平面向量数量积的概念

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).

记作：，即.

规定：零向量与任一向量的数量积为0

特别提醒:

（1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”；

(2)数量积的结果为数量,不再是向量；

(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零.

（2）投影

如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.

特别提醒:

①为向量在上的投影的数量；

②为向量在上的投影的数量；

③投影的数量（）是一个值，不是向量.

知识点4：平面向量数量积的性质

设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则

①. 

②.

③当与同向时,；

④当与反向时,；

⑤ 或；

⑥；

⑦.

知识点5：向量数量积的运算律

①交换律：

②对数乘的结合律：

③分配律：

④

⑤

二、重点题型分类研究

题型1: 与向量数量积有关的概念

1．（2022·全国·高一课时练习）已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

A：，A正确；

B：设，则，

设，则，

因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；

C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；

D：数量积满足交换律，D正确；

故选：B

2．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）已知，，且与的夹角，则等于（       ）

A． B．6 C． D．

【答案】A

【详解】

因为，，且与的夹角，

所以.

故选：A.

3．（2022·全国·高一课时练习）已知三角形中，，则三角形的形状为_________三角形（       ）

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角

【答案】C

【详解】

因为，故，故，

而，故，故三角形为钝角三角形，

故选：C.

4．（2022·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））在△ABC中，若(－)·(＋)＝0，则△ABC一定是（       ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【详解】

(－)·(＋)＝·＝0，

则CA⊥BA，所以△ABC一定是直角三角形．

故选：A

5．（2022·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高一期末）已知在中，，则的形状是（       ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形

【答案】C

【详解】

解：因为，

所以，

所以，

因为，

所以，所以角为钝角，

所以为钝角三角形，

故选：C

题型2：向量的夹角

1．（2022·福建福州·高三期中）已知，，且与相互垂直，则与的夹角为（        ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

【答案】C

【详解】

设与的夹角为，，

由于与相互垂直，

所以，

所以.

故选：C

2．（2022·全国·高一课时练习）若向量，满足，且，则向量与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为.

故选：B

3．（2022·河北·武安市第一中学高一阶段练习）已知向量，其中，且，则与的夹角是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由于，所以，

设与的夹角为，

则，

由于，所以.

故选：B

4．（2022·山东临沂·高三阶段练习）若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为向量，的夹角为，且，，

所以，

，

因为，所以

故选：A

5．（2022·河南·高三阶段练习（文））若单位向量，满足，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，，所以，即，

所以，所以，

又，所以.

故选:.

题型3：平面向量的数量积

1．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）已知向量，，与的夹角为.

（1）求；（2）求.

【答案】

（1）（2）

（1）

解：由题意，向量，，与的夹角为，

可得，

又由.

（2）

解：因为向量，，且，

所以.

2．（2022·湖北·高三期中）如图，在菱形中，若，，，．

（1）若，，求，，，的值；

（2）求的值．

【答案】

（1），，，.（2）-2

（1）

,,

故，，，.

（2）

由(1)得：

3．（2022·全国·高一课时练习）已知向量与的夹角大小为，且，，求的值．

【答案】13

【详解】

根据题意，得

.

4．（2022·全国·高一课时练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，，．

（1）；

（2）求证：．

【答案】

（1）（2）证明见解析

（1）

解：因为，是夹角为60°的两个单位向量，所以，因为，，

所以

（2）

解：因为，，所以，，

所以

，

所以；

题型4：向量的投影

1．（2022·四川·射洪中学高三阶段练习（理））已知向量，，则在方向上的投影是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因向量，，则有，

所以在方向上的投影是3.

故选：C

2．（2022·黑龙江·佳木斯市第二中学高三阶段练习（理））已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（       ）

A．3 B．-3 C．- D．

【答案】B

【详解】

由,得,

,于是,因此在方向上的投影为.

故选：B

3．（2022·云南·峨山彝族自治县第一中学高二阶段练习）已知，且，则在方向上的投影为（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，，

所以在方向上的投影．

故选：A．

4．（2022·重庆·西南大学附中高三开学考试）已知向量，满足，，且⊥(-)，则在方向上的投影为（       ）

A． B．3 C．- D．

【答案】D

【详解】

由题设，，即，

∴.

∴在方向上的投影为.

故选：D

5．（2022·广东汕尾·高一期末）在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由可得：，

即，可得，

所以，

如图设的中点为，则，

由可得，

所以，所以

，

所以

向量在向量方向上的投影向量为：

，

因为，所以，

所以向量在向量方向上的投影向量为，

故选：B.

题型5：向量垂直问题

1．（2022·河南·漯河高中高二阶段练习（文））设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

由，

又，均为单位向量，所以，

所以，

所以“”是“⊥”的充分必要条件.

故选：C

2．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，，若有两个不同时为零的实数k，t，使得与垂直，试求的最小值．

【答案】

【详解】

因为，所以，

又与垂直，所以，

即，又，，所以，

，当时，取到最小值.

3．（2022·江西·永新中学高二期中（理））已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？

【答案】.

【详解】

因为，， 与的夹角为，

所以，

若，则，

即，所以，

所以，可得：.

4．（2022·山西省长治市第二中学校高一期中）已知，

（1）若向量与垂直，求实数的值;

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）∵向量与垂直,

∴,

即,

解得.

题型6：利用平面向量数量积求向量的模

1．（2022·陕西·长安一中高三阶段练习（理））已知，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由已知，，

，

所以．

故选：B．

2．（2022·河北·高三阶段练习）已知单位向量，满足，则（       ）

A． B．5 C．2 D．

【答案】D

【详解】

由题意，，，

对两边同时平方可得，，

解得，

故，得.

故选：D.

3．（2022·贵州师大附中高二阶段练习（理））已知向量与的夹角为60°，，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为向量与的夹角为60°，，所以，

所以，

所以.

故选：B.

4．（2022·河北·衡水市冀州区第一中学高二期中）已知向量，满足，则（       ）

A．1 B． C．5 D．

【答案】D

【详解】

因为，

所以，

故.

故选：D.

5．（2022·辽宁·凌源市实验中学高三阶段练习）已知向量，满足，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由已知，得，结合，得，

解得，

所以，即.

故选：B.

题型7：利用平面向量数量积判断三角形的形状

1．（2022·全国·高一课时练习）已知在中，，则的形状是（    ）三角形

A．直角 B．等腰直角 C．等边 D．钝角

【答案】C

【详解】

解：由题得，所以8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，

因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.

又AB＝AC，故ABC是等边三角形.

故选：C.

2．（2022·安徽省涡阳第一中学高一阶段练习）在中，向量与满足，且，则为（    ）

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】D

【详解】

，分别为向量与的单位向量，

因为，所以角的角平分线与垂直，

所以是等腰三角形，且，

由，，所以，

所以，可得，

所以是等腰直角三角形.

故选：D.

3．（2022·安徽宣城·高一期中）为平面上的定点，是平面上不共线的三点，若，则是（    ）

A．以为底边的等腰三角形

B．以为底边的等腰三角形

C．以为斜边的直角三角形

D．以为斜边的直角三角形

【答案】B

【详解】

，

所以，所以是以为底边的等腰三角形，

故选：B.

4．（2022·江苏·南京市第六十六中学高一阶段练习）已知非零向量，满足，且，则的形状是（   ）

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形

【答案】D

【详解】

由题意，可得的平分线垂直于，所以，

又因为，且，

所以，所以为等边三角形，

故选：D．

题型8：利用平面向量数量积求参数

1．（2022·全国·高三专题练习）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ）

A． B．－

C． D．－

【答案】B

【详解】

由题意可得：，

，

化简得，解得.

故选：B.

2．（2022·辽宁实验中学二模）若存在单位向量，满足，，则的值为（    ）．

A．1 B．或1 C．0 D．1或0

【答案】D

【详解】

，是单位向量，则，

，

于是有，即，显然，则或1，

所以的值为为1或0．

故选：D

3．（2022·江西·兴国县将军中学高二阶段练习（文））在中，，且，则取最小值时的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为

所以当时，取最小值.

故选：B.

4．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三阶段练习）若单位向量，的夹角为，向量，且，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由，可得

所以，即，所以

故选：A

5．（2020·河北·邢台一中高三阶段练习）已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意 ，

可得，

即，

解得.

故选：C.

题型9：利用平面向量数量积求最值

1．（2022·江苏·高一期中）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，非零向量的夹角为，且，

则，

不等式对任意恒成立，

所以，即，

整理得恒成立，

因为，所以，即，可得，

即实数的取值范围为.

故选：A.

2．（2020·湖南·雅礼中学模拟预测（理））已知向量的夹角为，，，则的取值范围是________.

【答案】

【详解】

可设，

.

，

故答案为：

3．（2022·全国·高一课时练习）已知平面上三个向量，，的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.

（1）求证：(－)⊥；

（2）若|k＋＋|>1()，求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）{k|k<0或k>2}．

【详解】

(1)因为||＝||＝||＝1，且，，之间的夹角均为120°，

所以(－)·＝·－·＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c.

(2)因为|k＋＋|>1，

所以(k＋＋)2>1，

即k22＋2＋2＋2k·＋2k·＋2·>1，

所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1.

所以k2－2k>0，解得k<0或k>2.

所以实数k的取值范围为{k|k<0或k>2}．