数学必修 第二册6.2 平面向量的运算练习

6.2.2向量的减法运算 (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：向量的减法

（1）相反向量

与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作.

①零向量的相反向量仍是零向量

②任意向量与其相反向量的和是零向量，即:

③若,互为相反向量,则，，.

（2）向量减法定义

向量加上的相反向量，叫做与的差，即.

求两个向量差的运算叫做向量的减法.

向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算.

（3）向量减法的几何意义

已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示

如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.

知识点2：向量三角不等式

①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；

②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；

记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；

二、重点题型分类研究

题型1: 向量减法及其几何意义

1．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知向量，不共线，求作向量．

2．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知向量，，求作向量．

3．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知向量，，，求作向量．

题型2： 利用向量加减法运算化简表达式

1．（2022·全国·高一课时练习）化简下列式子：（1）；

（2）．

2．（2022·全国·高一课时练习）化简（1）

（2）；

（3）＋．

题型3：向量的模

1．（2022·全国·高一课时练习）若，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·江苏省天一中学高一期中）在中，若，则的形状为（       ）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

3．（2020·广东禅城·高一期末）在平行四边形中，，则必有（       ）.

A． B．或

C．是矩形 D．是正方形

4．（2020·贵州·盘州市第九中学高二期中）设非零向量满足，，则四边形形状（       ）

A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形

5．（2020·江西·高一阶段练习）设点M是线段的中点，点A在直线外，，，则（       ）

A．4 B．3 C．2 D．6

6．（2020·全国·高一课时练习）若，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

题型4：利用已知向量表示其它向量

1．（2022·全国·高一课时练习）如图，向量，，，则向量可以表示为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高一课时练习）已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中，则=（       ）

A．  B．  C． D．

3．（2022·山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·天津十四中高三阶段练习）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（       ）

A． B． C． D．

题型5: 向量加减法运算的实际应用

1．（2022·全国·）小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.

2．（2022·全国·高一课时练习）如图，质点A受到力和的作用，已知，与正东北方向的夹角为30°；，与正东方向的夹角为60°，求下列两个向量的大小和方向：

（1）；

（2）.

3．（2022·全国·高一课时练习）在某河流南岸某渡口处，河水以大小为的速度向东流，渡船在静水中的速度大小为.渡船要垂直地渡过该河，其航向应如何确定？