专题22 期末满分突破——八年级上压轴题精选2-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

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专题22 期末满分突破——八年级上压轴题精选2
1．如图，在矩形中，，，点是的中点，点沿以的速度运动，连接、、，设的面积为，点运动的时间为秒，则与的函数图象大致为　　

A． B．
C． D．
【解答】解：点是的中点，
，
当点在上时，，
当点在上时，
，
当点在上时，
，
故选：．
2．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由，，，，
，，
四边形分成面积，
可求的直线解析式为，
设过的直线为，
将点代入解析式得，
直线与该直线的交点为，，
直线与轴的交点为，，
，
，
直线解析式为；
解法二：连接，设过点的直线交于，过点作于．

由题意，的面积为7，的面积为9，
，
，
，
，
，
，，
设直线的解析式为，则有，
可得，
直线解析式为；
故选：．

3．如图，在中，，，是边上的点，连接，，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上；再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上．若，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的个数有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
由折叠可知：，，，，
，
，故②正确，
，
，
，故③正确，
，
，
，
，故①正确，
，
，故④错误，
故选：．
4．如图，已知在正方形中，，，分别是，上的一点，且，，点在延长线上且，连接，则以下结论：①，②，③，④中正确的个数有　　个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
即绕点沿顺时针方向旋转后与重合，
，
，
，
，，，
在和中，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，故②正确；
，故③错误；
，
，故④正确．
所以正确的有①②④，共3个．
故选：．

5．已知直线与直线都经过，，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：
①方程组的解为；
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法是　　

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：①直线与直线都经过，，
方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把，，代入直线，可得，解得，
直线，
又直线，
直线与直线互相垂直，即，
为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把，代入直线，可得，
中，令，则，
，
，
在直线中，令，则，
，
，
，
故③错误，不符合题意；

④点关于轴对称的点为，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
当的值最小时，点的坐标为，
故④正确，符合题意；
故选：．
6．如图，等腰直角三角形纸片中，，把纸片沿对折后，点恰好落在上的点处，若，，则下列结论一定正确的个数是　　
①；②；③；④与的周长相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：，，
，
，
把纸片沿对折后，点恰好落在上的点处，
，，
，
，
，故①正确；
，
；故②正确；
，
，，
，故③正确；
的周长，的周长，
与的周长相等，故④正确；
故选：．
7．在平面直角坐标系中，对于任意三点、、的“矩面积”，给出如下定义：“水平底” ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” ．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底” ，“铅垂高” ，“矩面积” ，若、、三点的“矩面积”为15，则的值为　　
A．或7 B．或6 C．或7 D．或6
【解答】解：、、，
“水平底” ．
“铅垂高“或或
①当时，三点的“矩面积” ，不合题意；
②当时，三点的“矩面积” ，
解得：或（舍去）；
③当时，三点的“矩面积” ，
解得：（舍去）或；
综上：或6．
故选：．
8．如图，在长方形中，，，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，，则下列结论：①；②当时，平分；③的周长最小值为；④当时，平分．其中正确的个数有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：，，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
平分，故②正确；
如图1，作关于直线的对称点，连接交于，
则此时，周长最小，且周长的最小值；
，，
，
周长的最小值为，故③错误；
如图2，过作于，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，故④正确；
故选：．


9．如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，与交于点，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：平分，平分，
，，
，
，
；故①正确；
过作于，于，于，
，
平分，
；故②正确；
，平分
垂直平分（三线合一），故③正确；
，

平分，
，
，故④正确．
故选：．

二．填空题（共12小题）
10．如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则　45　．

【解答】解：，，，，
为正整数），
．
故答案为：45．
11．已知关于，的方程组的唯一解是，则关于，的方程组的解是　　．
【解答】解：方程组可变形为方程组，
关于，的方程组的唯一解是，
，
解得，
故答案为．
12．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　10　．

【解答】解：如图：延长，交点于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，；
，
，即；
，
，
当时，面积最大，
即最大面积．
故答案为10．

13．如图，在中，是边上的中线，点是中点，过点作垂线交于点，已知，的面积为18，则的长为　　．

【解答】解：是边上的中线，的面积为18，
的面积，
点是中点，
的面积，
，是边上的中线，
，
，
的面积，
，
故答案为．
14．某通信公司提供了两种移动电话收费方式：
方式1：收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格计费：
方式2：收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．
下列结论：①如图描述的是方式1的收费方法；
②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；
③若月通信费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；
若方式1比方式2的通信费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．
其中正确结论的序号是　①②③　．

【解答】解：根据题意得：
方式1的函数解析式为，
方式2的函数解析式为，
①方式1的函数解析式是一条直线，方式2的函数解析式是分段函数，所以如图描述的是方式1的收费方法，另外，当时，方式1是28元，方式2是20元，故①说法正确；
②，解得，故②的说法正确；
③当元时，方式，解得分钟，方式，解得分钟，故③说法正确；
④当方式，；方式，；
若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟，
则，，
，
当方式，，
则，
方式，
若方式1比方式2的通讯费多10元，
则，
，
，
令，
，；
有且只有方式1费用为54元，方式2费用为44元时，方式1比方式2的通话时间多100分钟；
故④错误．
正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
15．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点是第二象限内一点，为等腰直角三角形且，则直线的解析式为　　．

【解答】解：
当时，，
当时，，
，
，，
，，
过点作轴于，过作轴，交于点，

，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
设，，
，
，
解得：，
，，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
则直线的解析式为：；
故答案为：．
16．如图在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：
①；②；③；④，
其中结论正确的是　①②③　．

【解答】解：①，
，
即．
在和中
，
，
．故①正确；
，
．
，
，
．
，
，
．
；故②正确；
③，，
，
．
，故③正确；
④，
．
，，，
，．
，
，
．故④错误．
故答案为：①②③．

17．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．是轴上一个动点，若沿将翻折，点恰好落在直线上的点处，则点的坐标是　，或　．

【解答】解：由一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，可得
，，，
分两种情况：
①当点在上时，由与关于对称，可得，，

设，则，，
在中，由勾股定理可得
，
解得，
，；
②当点在延长线上时，由与关于对称，可得，，

设，则，，
在中，由勾股定理可得
，
解得，
；
故答案为：，或．
18．如图，在正方形中，点是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是　①③④　．

【解答】解：如图，连接．
四边形是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
，
，，
设，
，故①正确，
在中，，
，
，
，
，
，
，
不是的中点，
，故②错误，
，
，
，
，，
，
，故③正确，
，，
，
，故④正确，
故答案为：①③④．
19．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2020次变换后所得的点坐标是　　．

【解答】解：点第一次关于轴对称后在第四象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第二象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
，
经过第2020次变换后所得的点与第四次变换的位置相同，在第一象限，坐标为．
故答案为：．
20．如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为　　．

【解答】解：如图，连接，

，，，
，
当，，共线时，的值最小，不妨设此时点落在上的点处，设，
，
，
解得
故答案为
21．如图，以为斜边的的每条边为边作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且边恰好经过点．若，则　6　．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如表示的面积）

【解答】解：如图，连接，作于，设交于，交于．

，
，
，，
，
，
，
，，共线，
四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，
，
，可证，
，
解法二：，
，

故答案为6．
三．解答题（共12小题）
22．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）售出一部甲种型号手机，利润率为，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值．
【解答】解：（1）设甲种型号手机每部进价为元，乙种型号手机每部进价为元
，
解得，
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元；

（2）设购进甲种型号手机部，则购进乙种型号手机部，
，
解得，
共有四种方案，
方案一：购进甲手机7部、乙手机13部；
方案二：购进甲手机8部、乙手机12部；
方案三：购进甲手机9部、乙手机11部；
方案四：购进甲手机10部、乙手机10部．

（3）甲种型号手机每部利润为，

当时，始终等于8000，取值与无关．
23．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．

求证：．
模型应用：
（1）已知直线与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转至，如图2，求的函数解析式．
（2）如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰△，请直接写出点的坐标．
【解答】（1）证明：为等腰直角三角形，
，
又，，
，，
又，
，
在与中，
，
；

（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图1，
，
为等腰△，
由（1）可知：，
，，
直线，
，，
．，
，
，
设的解析式为，
，
，
的解析式：；

（3）当点位于直线上时，分两种情况：
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；
则，，；
则，得，即：
，；
；
当点在矩形的外部时，设；
则，，；
同1可知：，
，即：，；
，；
②点为直角顶点，显然此时点位于矩形的外部；
设点，则，；
同（1）可得，，
，；
；
联立两个表示的式子可得：
，即；
，；
综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且点的坐标为：，，，，．


24．甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是　25　，乙的速度是　　；
（2）对比图①、图②可知：　　，　　；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为？

【解答】解：（1）由图可得，
甲的速度为：，乙的速度为：，
故答案为：25，10；
（2）由图可得，
，
，
故答案为：10；1.5；
（3）由题意可得，
前，乙行驶的路程为：，
则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，
设乙出发时，甲、乙两人路程差为，
，
解得，，
，得；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．
25．解答下列各题：
（1）如图1，直线与轴交于，与轴交于，求的关系式．
（2）在（1）的条件下，将线段绕点逆时针旋转90度，得到线段．若在轴上有一点，使得的面积为14，求点的坐标．
（3）如图2，矩形中，为坐标原点，的坐标为，，分别在坐标轴上，是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

【解答】解：（1）设直线的表达式为，
将点、的坐标代入上式得：，解得，
故直线的表达式为；

（2）如图1，过作轴于点，

由题意得：，，
，，
，，
，
，，
，
，且，
设点的坐标为，
则的面积，解得或8，
故点的坐标为或；

（3）如图2，当时，，则点坐标；

如图3，当时，，

设点的坐标为，则点坐标为，
由，得，
点坐标，；
如图4，当时，时，
同理可求得点坐标，．

综上可知满足条件的点的坐标分别为或，或，．
26．（2020秋•南山区校级期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点．
（1）①求的值：
②点为直线上一点，且，求点的坐标：
（2）如图2，直线交轴负半轴于点，，若直线与直线、直线不能围成三角形，　或或0　；
（3）在（2）条件下，为线段（不含，两点）上一点，过点作轴的平行线交线段于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式．

【解答】解：（1）①将点的坐标代入函数表达式得：，
解得；
②由①知，直线的表达式为，
故设点的坐标为，
则，
解得，
故点的坐标为或；

（2）直线的表达式知，点，
由点、的坐标得，，
则点，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
当直线和直线平行或与直线平行或与轴重合时，直线与直线、直线不能围成三角形，
则值依次为：或或0，
故答案为：或或0；

（3）设点的横坐标为，则点、的坐标分别为、，
则．
27．在中，，，，的中垂线交于，交于点．
（1）如图1，连接，则　　；
（2）如图2，延长交的延长线于点，连接，请求出的长；
（3）如图3，点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为　　．

【解答】解：（1）是的中垂线，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即，
故答案为：；
（2）是的中垂线，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为5；
（3）连接，过作于，交直线于，过作于，如图3所示：
是的中垂线，
，
，
，，
，
则点与关于对称，此时，
即的值最小，
由（2）得：，，
，
，
的面积，
，
即的最小值为，
故答案为：．

28．如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接，点为直线上一动点．
（1）直线的解析式为　　；
（2）若，求点的坐标；
（3）当时，求直线的解析式及的长．

【解答】解：（1）直线交轴和轴于点和点，
点，点，
设直线的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
直线的解析式为，
故答案为：；
（2）点，点，点，
，，
，
设点，
当点在线段上时，
，
，
，
，
点，；
当点在的延长线上时，
，
，
，
，
点，，
综上所述：点坐标为，或，；
（3）如图，当点在线段上时，设与交于点，

在和中，
，
，
，
点坐标为，
设直线解析式，
由题意可得，
解得：，
直线解析式为，
联立方程组得：，
解得：，
点，，
，
当点在延长线上时，设与轴交于点，
同理可求直线解析式为，
联立方程组，
点，
，
综上所述：的解析式为：或；的长为或．
29．如图，等腰直角的斜边在轴上且长为4，点在轴上方，矩形中，点、分别落在、轴上，边长为2，长为4，将等腰直角沿轴向右平移得等腰直角△．
（1）当点与点重合时，求直线的解析式；
（2）连接、，当线段和线段之和最短时，求矩形和等腰直角△重叠部分的面积；
（3）当矩形和等腰直角△重叠部分的面积为2.5时，求直线与轴交点的坐标（直接写出答案即可）．

【解答】解：（1）如图1，
，，
当点与点重合时，在轴上，
，
，
，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线的解析式为：；
（2）由图1可知：在直线上运动，
作直线，与关于直线对称，连接交于点，此时线段和线段之和最短，如图2，
，
过作于，设交于，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）图1中，矩形和等腰直角△重叠部分的面积：，
图2中，矩形和等腰直角△重叠部分的面积：，
图3，当矩形和等腰直角△重叠部分的面积：，
，
设，则；
，
解得：，
，
直线与轴交点的坐标为或．



30．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点为正半轴上一个动点．
（1）当时，写出线段　　，　　．
（2）求的面积．（用含的代数式表示）
（3）当点在运动时，是否存在点使为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图，过点作轴于，

点，点，点
，，，，
，
，，
故答案为：，；
（2）当点在上时，
点，点，点
，，，，
，
；
当点在射线上时，

，
综上所述：；
（3）当时，，
则，
解得，
；
当时，，
则，
解得，
；
当时，，
则，
解得，
；
综上所述：存在的值为或4或14，使为直角三角形，面积为或20或50．
31．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线与直线的表达式分别为：、．
（1）直接写出点的坐标为　　．
（2）若点在直线上，点在直线上，且轴，，求点的坐标．
（3）如图2，若点在轴正半轴上，当的面积等于面积的一半时，求的大小．

【解答】解：（1）联立方程组可得：，
解得：，
点，
故答案为；
（2）点，点，
，
设点，则点，
，
，
，，
点坐标为，或，；
（3）直线与轴交于点，
点，
的面积等于面积的一半，
，
，
如图2，当点在原点左侧时，连接，过点作轴于，

点，点，点，
，，
又，
，
，，
，
，
，
，
当点在原点右侧时，
，，
，
又，
，
，
综上所述：当点在轴正半轴上时，．
32．如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为，求点的坐标；
②连接，如图2，若，求点的坐标．

【解答】解：（1）对于
由得：，

由得：，解得，
，
点与点关于轴对称

设直线的函数解析式为，则，
解得．
直线的函数解析式为；

（2）设，
则、
如图1，过点作于点，
，，
，
解得，
，或，；

（3）如图2，当点在轴的左侧时，
点与点关于轴对称
，

，

，



设，则
，，
，
解得．
，．
当点在轴的右侧时，如图3，
同理可得，，
综上，点的坐标为，或，．


33．平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与直线交于点．
（1）直接写出直线关于轴对称的直线的解析式　　；
（2）如图1，点为轴上一点，，求点坐标；
（3）如图2，点为轴上一点，，直线与直线交于点，求点的坐标．

【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于点、．
，，
直线与直线关于轴对称，
，
设直线的解析式为，
，
解得，，
直线的解析式为．
故答案为：．

（2），
，
设，，
在和中，
，，
，
，
解得．
．

（3）①如图，当点在点的下方，
，，
，
过点作交直线于点，过点作于，过点作于点，

为等腰直角三角形，
，
，，
，
又，
，
，，
，
设直线的解析式为，
由，
解得，
直线的解析式为，，
，
由，
解得，
即，；
②点在点的上方，

由①知，，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
由，
解得，
，．
综合以上可得点的坐标为，或，．