【单元压轴题专练】（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册 第2章 实数（压轴题专练）

第2章 实数（压轴题专练）

题型1：算术平方根的非负性问题

1．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：

，则的值为     ．

2．实数a、b满足，则的最大值为         ．

3．若满足关系式，则        ．

题型2：算术平方根、立方根有关的新定义题

4．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a，b为连续正整数），我们则称无理数m的“福区间”为．例：∵，∴的“福区间”为．若某一无理数的“福区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，则p的值为        ．

5．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号          ．

①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有．

6．请认真阅读下面的材料，再解答问题．

依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．

比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．

(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；

(2)81的四次方根为______；的五次方根为______；

(3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______；

(4)求的值：．

7．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：

(1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ；

(2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．

(3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”．

8．观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（    ）

A． B． C． D．

题型3：实数有关的规律性题

9．计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是          ．

10．观察下表中的数据信息：

根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（　　）

A．＝1.53

B．241的算术平方根比15.5小

C．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.17

D．只有3个正整数n满足15.7＜＜15.8

11．按要求计算下列各题

(1)计算：__________，__________，__________，__________；

(2)求的值．

12．借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（    ）

A． B． C． D．

13．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：

（1），，，……

，，，……

由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．

（2）已知，，则_____；______．

（3），，，……

小数点的变化规律是_______________________．

（4）已知，，则______．

14．据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：

(1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______；

(2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．

题型4：程序框图

15．如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．

(1)当输入的x值为时，求输出的y值；

(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；

(3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值．

16．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：

①当输出值y为时，输入值x为3或9；

②当输入值x为16时，输出值y为；

③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；

④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．

其中错误的是（　　）

A．①② B．②④ C．①④ D．①③

题型5：实数有关的新定义运算

17．对于任意一个四位自然数m，若满足百位上的数字与十位上的数字之和等于千位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这个数为“富贵数”．将“富贵数”m的千位上的数字与个位上的数字交换位置，百位上的数字与十位上的数字交换位置，得到新数，记．如：满足，则是一个“富贵数”，．

(1)判断和是不是“富贵数”；

(2)证明：对任意一个“富贵数”m，其都能被11整除；

(3)已知某“富贵数”s，满足条件（且均为整数）．记，若能被7整除，求出所有满足条件的s的值．

18．若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“和差数”．

例如：，∵，∴1514是“和差数”．

又如：，∵，∴2526不是“和差数”．

(1)判断2022，2046是否是“和差数”，并说明理由；

(2)一个“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且．当均是整数时，来出所有满足条作的M．

19．若一个四位数的个位数字与千位数字的和的五倍恰好是去掉个位与千位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和五倍数”．例如：，∵，，∴3201是“和五倍数”．又如：，∵，，∴4609不是“和五倍数”．

(1)判断1101，5351是否是“和五倍数”，并说明理由；

(2)一个“和五倍数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（、、、是整数且，，，），交换的千位数字和个位数字得到新的四位数，记，，当、均为整数时，求出所有满足条件的．

20．若一个四位数m的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字与个位数字的和．则称这个四位数m为“扬帆数”．将“扬帆数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，并记．例如：．

∵，∴1335是“扬帆数”，此时；

又如：，∵，∴2345不是“扬帆数”．

(1)判断1437，3578是否是“扬帆数”，说明理由；如果是，求出对应的的值；

(2)若四位数（，为整数），且能被8整除，求出所有满足条件的“扬帆数”m．

题型6：实数与数轴

21．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图2的虚线将它剪开后，重新拼成一个大正方形．

（1）基础巩固：拼成的大正方形的面积为______，边长为______；

（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的重合．以点B为圆心，边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______；

（3）变式拓展：

①如图4，给定的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的正方形吗？若能，请在图中画出示意图；

②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数．

22．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形进行拼接，可得到一个的大正方形．若将得到的直角三角形按如图2所示放置在数轴上，使直角顶点A与数轴上的原点重合，

（1）图1中大正方形的边长为_______．

（2）如图2，若将直角三角形绕顶点C按顺时针方向翻转，使顶点B落在数轴上，称为第1次翻转，将翻转所得到的的图形再绕顶点B按顺时针方向翻转，使顶点A落在数轴上，称为第2次翻转…．以此类推．

①第1次翻转后得到的三角形顶点B在数轴上对应的数是_______．

②第2010次翻转后得到的三角形顶点C在数轴上对应的数是____________．

题型7：无理数的估算

23．阅读下面的文字，解答问题．

对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．

例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．

（1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　；

（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　．

（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　．

24．阅读材料，并解答问题：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如图①，在直角三角形中，，，，，斜边，为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究．

(1)小伍同学利用计算器得到了，．故____．（填“”“ ”或“”

(2)小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出如图②所示的图形，其中，，点在上，且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学比较和的大小．

25．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：

面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5

(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；

(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；

(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值．

题型8：二次根式压轴题

26．阅读下列材料，解答后面的问题：

；

；

(1)写出下一个等式；

(2)计算的值；

(3)请求出的运算结果．

27．【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．

下面是小单的深究过程：

①具体运算，发现规律：

当时，

特例1：若，则；

特例2：若，则；

特例3：若，则．

②观察、归纳，得出猜想：当时，．

③证明猜想：

当时，

∵，

∴，

∴．

当且仅当时，．

请你利用小华发现的规律解决以下问题：

(1)当时，的最小值为 　 　

(2)当时，的最小值为 　 　；

(3)当时，求的最大值．

28．请阅读下列材料，并完成相应的任务．

古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．

印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)

根据上述信息解决下列问题：

（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　

（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．

29．阅读与思考

请你阅读下列材料，并完成相应的任务．

裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．

在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．

(1)模仿材料中的计算方法，化简：______．

(2)观察上面的计算过程，直接写出式子______．

(3)利用根式裂项求解：．

30．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：

若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；

(2)若，且、、均为正整数，求的值；

(3)化简下列各式：

①

②

③．

31．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：

对于两个数，，

称为，这两个数的算术平均数，

称为，这两个数的几何平均数，

称为，这两个数的平方平均数

小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：

(1)若，，则；________；_______；

(2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．

①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形：

②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）；

③若．则的最小值为________．