专题06 实数的相关概念-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

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专题06 实数的相关概念
题型一 无理数的概念
1．下列说法错误的是（　　）
A．无理数的相反数还是无理数
B．无限不循环小数都是无理数
C．正数、负数统称有理数
D．实数与数轴上的点一一对应
【解答】解：A、无理数的相反数还是无理数，如的相反数是也是无理数，π的相反数﹣π，也是无理数等．故本选项正确；
B、无理数就是无限不循环小数，故本选项正确；
C、正数、负数和0统称为有理数；故本选项错误；
D、实数与数轴上的点一一对应．故本选项正确；
故选：C．
2．在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中，无理数有　2　个．
【解答】解：在 ，3.14，0，0.101 001 000 1…， 中，，0.101 001 000 1…是无理数，无理数有2个．
故答案为：2．
3．在实数：1，﹣，，，π，3.1313313331…（两个1之间一次多一个3）中，无理数有　3　个．
【解答】解：﹣＝﹣2，
无理数有：，π，3.1313313331…，共3个．
故答案为：3．
4．在“﹣3，，2π，0.101001”中无理数有　1　个．
【解答】解：无理数有2π，只有1个．
故答案是：1．
5．下列各数中无理数有　4　个．，3.141，，4.2，，0.1010010001…，，．
【解答】解：无理数有，，0.1010010001…，，共4个，
故答案为：4．

题型二 平方根、算术平方根、立方根的概念
6．下列说法中，不正确的有（　　）
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a；
④（π﹣4）2的算术平方根是π﹣4；
⑤算术平方根不可能是负数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①负数没有算术平方根，原来的说法不正确；
②0的算术平方根是0，原来的说法不正确；
③a2的算术平方根是|a|，原来的说法不正确；
④（π﹣4）2的算术平方根是4﹣π，原来的说法不正确；
⑤算术平方根不可能是负数的说法正确．
故不正确的有4个．
故选：C．
7．下列说法错误的是（　　）
A．无理数没有平方根
B．一个正数有两个平方根
C．0的平方根是0
D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
【解答】解：A、∵整数都有平方根，∴正无理数有平方根，故本选项错误，符合题意；
B、一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数，故本选项正确，不符合题意；
C、0的平方根是0，故本选项正确，不符合题意；
D、互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故本选项正确，不符合题意．
故选：A．
8．的算术平方根为（　　）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
【解答】解：＝9，9的算术平方根为＝3，
所以的算术平方根为3，
故选：A．
9．（﹣5）0的立方根是　1　，10﹣2的算术平方根是　　，的平方根是　±2　．
【解答】解：（﹣5）0＝1，故1立方根是：1，
10﹣2＝，算术平方根是：，
＝4的平方根是：±2．
故答案为：1；，±2．
10．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（　　）
A．﹣1 B．3 C．9 D．﹣3
【解答】解：由题意得，
2a﹣1﹣a+2＝0，
解得a＝﹣1，
所以2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，
即一个数的两个平方根分别是3与﹣3，
所以这个数是9，
故选：C．
11．如果一个正数的两个平方根分别为a﹣3和2a+1，则这个正数为 　　．
【解答】解：根据题意得a﹣3+2a+1＝0，
解得：a＝，
∴这个正数为（a﹣3）2＝（）2＝，
故答案为：．
12．若a+1和﹣5是实数m的平方根，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4或﹣6
【解答】解：∵a+1和﹣5是m的平方根，
∴a+1＝﹣5或a+1+（﹣5）＝0，
∴a＝﹣6或4．
故选：D．
13．已知2x﹣1与﹣x+8是a的平方根，则a＝　225或25　．
【解答】解：∵2x﹣1与﹣x+8是a的平方根，
∴2x﹣1与﹣x+8互为相反数或相等
∴2x﹣1﹣x+8＝0或2x﹣1＝﹣x+8
解得x＝﹣7或x＝3，
∴2x﹣1＝﹣15，﹣x+8＝15或5是a的平方根，
∴a＝（±15）2＝225或a＝52
故答案为：225或25．
14．一个正整数的平方根为±m，则比这个正整数大5的数的算术平方根是（　　）
A．m+5 B． C．m2+5 D．
【解答】解：根据题意得：这个正数为m2，
则比这个数大5的数的算术平方根是，
故选：D．
15．已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正数a的平方根，则a的值是（　　）
A．3 B．64 C．3或﹣ D．64或
【解答】解：根据题意得：3m﹣1＝﹣2m﹣2或3m﹣1+（﹣2m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣或3，
当m＝﹣时，
3m﹣1＝﹣，
∴a＝；
当m＝3时，
3m﹣1＝8，
∴a＝64；
故选：D．
16．已知2a+1和5是正数b的两个平方根，则a+b的值是（　　）
A．25 B．30 C．20 D．22
【解答】解：由题意得，b＝25，a＝﹣3，
∴a+b＝﹣3+25＝22．
故选：D．
17．已知3x+1的算术平方根是4，x+y﹣17的立方根是﹣2，求x+y的平方根．
【解答】解：根据题意得：3x+1＝16，x+y﹣17＝﹣8，
解得：x＝5，y＝4，
则x+y＝4+5＝9，9的平方根为±3．
所以x+y的平方根为±3．
18．已知无理数8﹣，x是它的整数部分，y是它的小数部分，求（y+）x﹣1的平方根．
【解答】解：∵16＜17＜25，
∴4＜5．
∴x＝3．
∴y＝8﹣﹣3＝5﹣．
∴（y+）x﹣1＝（5﹣+）2＝52＝25．
∵25的平方根是±5，
∴（y+）x﹣1的平方根是±5．

题型三 实数比大小、无理数的估算
19．已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，那么a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：a＝
＝，
b＝
＝，
c＝
＝，
∵＞＞，
∴＜＜，
即a＜b＜c，
故选：A．
20．比较大小：　＞　．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：＞．
21．比较大小：﹣　＜　﹣1.5．
【解答】解：＝3，（﹣1.5）2＝2.25，
∵3＞2.25，
∴﹣＜﹣1.5．
故答案为：＜．
22．比较大小：　＜　1（填写“＞”或“＜”）．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
∴＜＜1，
故答案为：＜
23．比较大小　＜　．
【解答】解：＝20
＝20+2
∵＜，
∴20＜20+2，
∴＜．
故答案为：＜．
24．下列整数中，与10﹣最接近的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵25＜30＜36，30离25更近，
∴5＜＜6，且更接近5，
∴﹣6＜﹣＜﹣5，且更接近﹣5，
∴4＜10﹣＜5，且更接近5．
故选：C．
25．已知M＝，则M的取值范围是（　　）
A．8＜M＜9 B．7＜M＜8 C．6＜M＜7 D．5＜M＜6
【解答】解：M＝，
∵2＜＜3，
∴6＜4+＜7，
∴6＜M＜7，
故选：C．
26．已知a是整数，且a＜＜a+1，则a的值是　3　．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴a＝3．
故答案为3．
27．的小数部分是　﹣4　．
【解答】解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴的整数部分是4，
∴的小数部分是﹣4．
故答案为：﹣4．
28．满足的整数x有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
又∵1＜＜2，﹣＜x＜，
∴整数x为﹣1，0，1，
故选：C．
29．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值　6　．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
又∵的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴a2+b﹣＝9+﹣3﹣＝6，
故答案为：6．
30．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，下列4个结论：
①[0）＝0；②[x）﹣x的最小值是0；③[x）﹣x的最大值是1；④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立．
其中正确的是 　③④　．（填序号）
【解答】解：由题意得[0）＝1，
∴①不正确，不满足题意．
∵[x）＞x，
∴[x）﹣x＞0，
∴②不正确，不符合题意．
∵[x）表示大于x的最小整数，
∴当x为整数时，[x）﹣x取最大值是1，
∴③正确，符合题意．
当x的小数部分为0.5时，[x）﹣x＝0.5，
∴④正确，符合题意．
故答案为：③④．
31．比较大小错误的是（　　）
A．＜ B．+2＜﹣1 C．＞﹣6 D．＞
【解答】解：∵5＜7，
∴＜，因此选项A不符合题意；
∵5＜＜6，
∴7＜+2＜8，
∵9＜＜10，
∴8＜﹣1＜9，
∴+2＜﹣1，因此选项B不符合题意；
∵4＜＜5，
∴11＜+7＜12，
∴5.5＜＜6，
∴﹣6＜﹣＜﹣5.5，因此选项C不符合题意；
∵3＝，2＝，而＞，
∴3＞2，因此选项D符合题意；
故选：D．
32．（1）已知，求x2﹣xy+y2的值．
（2）已知7+和7﹣的小数部分分别为a，b，试求代数式ab﹣a+4b．
【解答】解：（1），，
xy＝1，x+y＝10，x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝97．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
ab﹣a+4b＝a（b﹣1）+4b＝（）（2﹣）+4（3﹣）＝3．
33．对于一个实数m（m≥0），规定其整数部分为a，小数部分为b，如：当m＝3时，则a＝3，b＝0；当m＝4.5时，则a＝4，b＝0.5．
（1）当m＝π时，b＝　π﹣3　；当m＝时，a＝　3　；
（2）当m＝9﹣时，求a﹣b的值；
（3）若a﹣b＝﹣1，则m＝　11﹣　．
【解答】解：（1）当m＝π时，a＝3，b＝π﹣3；
∵3＜＜4，
∴当m＝时，a＝3；
故答案为：π﹣3，3；
（2）∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴9﹣3＜9﹣＜9﹣2，即6＜9﹣＜7，
∴a＝6，b＝9﹣﹣6＝3﹣，
∴a﹣b＝6﹣（3﹣）＝3+；
（3）∵25＜30＜36，
∴5＜＜6，
∴4＜﹣1＜5，
∵a﹣b＝﹣1，0＜b＜1，
∴4＜b+﹣1＜6，即4＜a＜6，
∵a≥0，且a为整数，
∴a＝5，b＝5﹣（﹣1）＝6﹣，
∴m＝a+b＝5+6﹣＝11﹣，
故答案为：11﹣．

题型四 最简二次根式及同类二次根式
34．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为　2　．
【解答】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
35．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有　2　个．
【解答】解：，是最简二次根式，
故答案为：2．
36．在二次根式、、、，，中，是最简二次根式的共有　3　个．
【解答】解：二次根式、、、，，中，是最简二次根式的是、，，
故答案为：3
37．在、、、、中，是最简二次根式的是　　．
【解答】解：在、、、、中，只有是最简二次根式．
故答案为：．
38．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：＝3，＝，＝等都不是最简二次根式，
而，，是最简二次根式，
即最简二次根式有3个．
故选：C．
39．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么3的值为　3　．
【解答】解：由题意得3a+8＝12﹣a，
解得a＝1，
当a＝1时3＝3．
故答案为：3．
40．若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝　2　．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
则a+b＝2，
故答案为：2．
41．最简二次根式与能合并，则a的值为　1　．
【解答】解：根据题意得1+a＝4﹣2a，
解得a＝1．
故答案为1．
42．在，，，……，这1999个式子中，与可以合并的共有　19　个
【解答】解：∵＝20，＜20，
∴在，，，……，这1999个式子中，与可以合并的有…，
即共19个．
故答案为19．
43．如果最简二次根式与能进行合并，则x的值为　2　．
【解答】解：∵最简二次根式与能进行合并，
∴2x﹣1＝5﹣x，
解得：x＝2．
故答案为：2．

题型五 无理数的在数轴上的表示
44．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以﹣1所在的点为旋转中心，将过﹣1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（　　）

A． B．﹣ C．﹣1 D．1﹣
【解答】解：以数轴的单位长线段为边作一个正方形，
∴正方形的对角线长度为，
过﹣1点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，
∴A表示的数是为：﹣1+．
故选：C．
45．如图所示，以C为圆心，BC为半径的圆与数轴上交于点A，则点A所表示的数为a，则a的值是（　　）

A．+2 B．﹣2 C．﹣+2 D．﹣﹣2
【解答】解：由题意得：BC＝，
即AC＝BC＝，
∵点C表示的数为2，
∴点A表示的数为2﹣．
故选：C．
46．如图，数轴上点C所表示的数是（　　）

A．2 B．3.7 C．3.8 D．
【解答】解：∵OA＝3，AB＝3﹣1＝2，
∴OB＝＝，
∴OC＝OB＝，
∴点C表示的数为．
故选：D．
47．如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别1，，则⊙A的直径长为（　　）

A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣2 D．2﹣2
【解答】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为1和，
∴AB＝﹣1，
∴⊙A的直径为2AB＝2﹣2．
故选：C．
48．如图，在数轴上找到表示﹣3的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是　﹣　．

【解答】解：在直角三角形ABO中，OA＝＝＝．
∴OC＝OA＝，
∴点C所表示的数为0﹣＝﹣．
49．如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3，BC⊥AB，BC＝1，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为　1+　．

【解答】解：在直角三角形ABC中，AB＝＝＝．
∴点P表示的数为1+．
50．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式+|b﹣a|+﹣|2b|的值．

【解答】解：∵c为8的立方根，
∴c＝2，
∵a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，
∴原式＝|a|+|b﹣a|+|b﹣c|﹣|2b|
＝﹣a+a﹣b+c﹣b+2b
＝c
＝2．