专题24 期末满分突破——八年级上常考压轴题精选4-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

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【解答】解：，，
当到的距离是点到的距离的2倍时，与的面积相等，
满足这样的条件的点共有如图所示的8个格点，
在这张格子纸上共有8个“好点”．
故答案为：8．
2．（成都期末）已知三角形三边长分别为、、，请借助构造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为 （用含、的代数式表示）．
【解答】解：如图所示，
，，
，
．
故答案为：．
3．（青羊区期末）如图，以为斜边的的每条边为边作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且边恰好经过点．若，则 5 ．（注：图中所示面积表示相应封闭区域的面积，如表示的面积）
【解答】解：如图，连接，作于，设交于，交于．
，
，
，，
，
，
，
，，共线，
四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
则△，
．
故答案为：5．
4．（青羊区期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，且，则点的坐标为 ．
【解答】解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，则，
取的中点，，
直线与直线的交点即为点．
设直线的解析式为，
把，，代入得，
解得
直线的解析式为，
由，
解得，
点坐标为，
故答案为．
5．（金牛区期末）如图，直线与轴正方向夹角为，点、、、在轴上，点、、、在直线上，△、△、△均为等边三角形，则的横坐标为 ．
【解答】解：直线交轴于点，交轴于点，
，点，．
△，△，△，均为等边三角形，
，
，，，，，
．
的横坐标为，
故答案为：．
6．（邛崃市期末）如图，矩形中，是的中点，将沿折叠得到，且点在矩形内部．将延长交于点，若，则 ．
【解答】解：连接，则根据翻折不变性得，，
，，
在和中，
，
，
；
设，，则有，
，
在中，，即
，
．
故答案为：．
7．（金牛区期末）如图，在中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，若，则的长是 ．
【解答】解：，
，
由折叠可得，，，
又，
，
，
，
，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
8．（青白江区期末）如图，中，，，，分别以的边、、为一边向外作正方形、、，连接、，则图中阴影部分的面积之和等于 48 ．
【解答】解：如图将绕点顺时针旋转得到．
，
，
，
，
、、共线，
，
，
同理可证，
，
故答案为：48．
9．（简阳市 期末）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，顶点的纵坐标为3，，．点是斜边上的一个动点，则的周长的最小值为 ．
【解答】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，则此时的值最小，
，
，
顶点的纵坐标为3，
，
，
，，
，
由三角形面积公式得：，
即：
解得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即的最小值是，
周长的最小值为：，
故答案为：．
10．（成华区期末）如图，直线分别交，轴于点，，点在轴的正半轴，且，则直线的函数表达式是 ．
【解答】解：一次函数的图象分别交、轴于点、，
令，得；令，则，
，，，
，，
如图，过作交于，过作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，，
设直线的函数表达式为：，则
，
解得，
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
11．（成都期末）在中，，为的角平分线，边上的高与所在的直线交于点，若，则的度数为 或 ．
【解答】解：①如图1中，当高在三角形内部时，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
②如图2中，当高在外时，
同法可得：，，，
，
，
综上所述，或，
故答案为或．
12．（武侯区期末）如图，在中，，，，以为斜边作等腰，连接，则线段的长为 或 ．
【解答】解：当点在的下方，如图，
过 作于，于，
则四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当点在的上方，如图，
作于，于，
则四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
13．（成都期末）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在中，，若点是斜边的中点，则，运用：如图2，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到连接，，，则的长为 ．
【解答】解：如图，连接交于，作于．
在中，，，，
由勾股定理得，
由题可得，
，
，
，，
点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
垂直平分线段，
，
，
，
在中，．
故答案为．
14．（龙泉驿区期末）如图，在矩形中，，点为边上一点，将沿所在直线翻折，得到，点恰好是的中点，为上一动点，作于，则的最小值为 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
将沿所在直线翻折，得到，
，，
点恰好是的中点，
，
，
，
，
，
过作交于，则点与点关于对称，
过作于交于，
则此时，的值最小，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
15．（青羊区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，点为线段上一动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到，则面积的最小值为 ．
【解答】解：如图，作于．
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
由翻折的性质可知：，，，
，
，
是顶角为的等腰三角形，
根据垂线段最短可知，当与重合时，，
此时的面积最小，最小值．
故答案为．
16．（武侯区期末）如图，在正方形网格中，的每一个顶点都在格点上，，点是边上的动点（点不与点，重合），将线段沿直线翻折后得到对应线段，将线段沿直线翻折后得到对应线段，连接，则四边形的面积的最小值是 5.5 ．
【解答】解：如图，
延长使，
点，是格点，
点必是格点，
，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
由折叠知，，，
，
，
由折叠知，，
△是等腰直角三角形，
由折叠知，，，
，，
，，
，
，
要四边形的面积最小，则△的面积最小，
即：最小，此时，，
此时，
，
即：四边形的面积最小为，
故答案为5.5．
17．（新都区期末）如图，长方形中，，正方形的边长为1．正方形绕点旋转的过程中，线段的长的最小值为 ．
【解答】解：如图，连接，，，
长方形中，，正方形的边长为1，
，，
，
，
当点，，在同一直线上时，的长最小，最小值为，
故答案为：．
18．（锦江区校级期末）如图，为边长不变的等腰直角三角形，，，在外取一点，以为直角顶点作等腰直角，其中在内部，，，当，，三点共线时，．下列结论：
①，，共线时，点到直线的距离为；
②，，共线时，；
③；
④作点关于的对称点，在绕点旋转的过程中，的最小值为；
⑤绕点旋转，当点落在上，当点落在上时，取上一点，使得，连接，则．
其中正确结论的序号是 ②③⑤ ．
【解答】解：如图1中，当，，共线时，连接．作交的延长线于，设交于．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
，故①错误，
，
，
，故②正确，
，
，
在中，，
，故③正确，
如图2中，连接，．
，关于对称，，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．故④错误．
如图3中，设交于．
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，即，故⑤正确，
故答案为②③⑤．
二．解答题（共29小题）
19．（武侯区期末）如图，过点的一次函数的图象分别与轴，轴相交于，两点．
（1）求的值；
（2）直线与轴相交于点，与线段相交于点．
若直线把分成面积比为的两部分，求直线的函数表达式；
（ⅱ）连接，若是以为腰的等腰三角形，求满足条件的点的坐标．
【解答】解：（1）将点的坐标代入一次函数并解得：
；
（2）一次函数分别与轴，轴相交于，两点，
则点、的坐标分别为：、；
，
直线把分成面积比为的两部分，
则或4，
而或4，
则或2，
故点或，
将点的坐标代入直线表达式并解得：
直线的表达式为：或；
（ⅱ）设点，而点、的坐标分别为：、，
则，，，
当时，，解得：或；
当时，同理可得：；
综上，点的坐标为：，或，或，．
20．（青白江区期末）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．过点且垂直于轴的直线交于点，是直线上一动点，且在点的上方，设．
（1）求直线的解析式和点的坐标；
（2）求的面积（用含的代数式表示）；
（3）当的面积为2时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，求出点的坐标．
【解答】解：（1）直线交轴于点，交轴于点，则，
直线的表达式为：，
点；
（2）的面积；
（3）①当时，如图1，
过点作交的延长线于点，
由点的坐标知，直线的倾斜角为，而，
则，则直线，，
故点；
②当时，
由①同理可得：直线轴，
故点；
③当时，
同理可得：点；
综上，点的坐标为：或或．
21．（简阳市 期末）如图1，直线分别与，轴交于、两点，过点的直线交轴负半轴于，且．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图2，为轴上点右侧的一动点，以为直角顶点，为一腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交轴于点．当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．
（3）直线交于，交于点，交轴于，是否存在这样的直线，使得
？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）直线分别与，轴交于、两点，
，
，
直线的解析式为：．
，
，
，
，，
设的解析式是，
，
直线的解析式是：；
（2）点的位置不发生变化，．
如图2，过作轴于，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
即，
又，
，
是等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
（3）如图1，过、分别作轴，轴，则．
，
．
又，
在与中，
，
，
．
解方程组得点的纵坐标，
解方程组得点的纵坐标
，，
；
当时，存在直线，使得．
22．（金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）将点，代入中，得，
，
直线的函数表达式为；
（2）由（1）知，直线的函数表达式为①，
直线，
联立①②解得，，
，
，
，
；
（3）设，
，，
．，，
是等腰三角形，
①当时，，
，
或，
②当时，，
，
，，
③当时，，
（舍或，
，
即：满足条件的点的坐标为或或或，．
23．（锦江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
（1）求和的值．
（2）直线与轴交于点，动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动．设点的运动时间为秒．
①若的面积为，请求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②是否存在的值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线与轴，轴分别交于，两点，则点、的坐标分别为：、，
点为直线上一点，则，故点；
将点的坐标代入得：，解得：；
故，；
（2）①直线的表达式为：，令，则，故点，
则点，
，
即；
②存在，理由：
当点在线段上时，
，
则，即；
当点在线段外时，如下图，
，
则，
故，
综上，或12．
24．（青羊区校级期末）在等腰与等腰中，，，，且点、、三点在同一条直线上，连接．
（1）如图1，求证：
（2）如图2，当时，试猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当时，请直接写出线段，，之间的数量关系式为： （不写证明过程）
【解答】证明：（1），
，
又，，
；
（2），
理由如下：，
，
又，，
；
，
，，
，
，
；
（3）作于．
，
，
又，，
；
，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
25．（青羊区校级期末）如图1，在中，，，为边上一动点，且不与点点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．
（1）若，则 45 度；
（2）若，试探索与有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，过点作于点，的延长线与的延长线交于点，求证：．
【解答】解：（1），，
，
，，
，
，
，且
，
，且，
，
，
故答案为：45；
（2）猜想：，
理由如下：，
，
，
，且，
，
；
（3）如图，过点作于，
，
，
，
，
，且，
，
，，
，
，
，
，
，，
，且，，
，
，
在中，，
，
．
26．（成华区期末）在中，，，于点．过射线上一点作的垂线，交直线于点．
如图1，点在上，若，，则线段的长为 ；
（2）如图2，点在上，求证：；
（3）若点在的延长线上，则，，之间有何数量关系？直接写出你的结论，不证明．
【解答】解：（1），，
，
，，，
，，
．
．
．
故答案为：；
（2）过点作的垂线交于点，
，，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）数量关系是：．
证明：过点作的垂线交于点，
同（2）可得为等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
27．（成华区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的融合点．例如：，，则点是点和的融合点．如图，已知点，点是直线上任意一点，点是点和的融合点．
（1）若点的纵坐标是6，则点的坐标为 ， ；
（2）求点的纵坐标与横坐标的函数关系式：
（3）若直线交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标．
【解答】解：（1）点是直线上一点，点的纵坐标是6，
，
解得，，
点的坐标是，
点是点和的融合点，
，，
点的坐标为，，
故答案为：，；
（2）设点的坐标为，
点是点和的融合点，
，，
解得，，，
，
整理得，；
（3）设点的坐标为，
则点的坐标为，，
当时，点与点的横坐标相同，
，
解得，，
此时点的坐标为，，
当时，点与点的横坐标相同，
，
解得，，
此时点的坐标为，
由于直线与直线不垂直，所以不可能为，
综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为，或．
28．（成都期末）在中，，，垂足为点，为线段上一动点（不包括端点），点在直线左上方且，，如图①
（1）求证：
（2）记的面积为，记的面积为．求证：
（3）延长线段到点，使，如图②．探究线段与线段满足什么数量关系时对于满足条件的任意点，始终成立？（写出探究过程）
【解答】解：（1），
，
，
，
；
（2）过点作于，
，，，
，；
，，
；
（3）当时，对于满足条件的任意点，始终成立，
理由如下：过点作于，
由（2）可得，，
，，，
，
，，，
．
29．（武侯区期末）如图，平分钝角交过点的直线于点，平分交于点，且．
（1）求证：；
（2）点是射线上一动点（点不与点，重合），连接，与射线相交于点．
（ⅰ）如图1，若，，试探究线段与之间满足的数量关系；
（ⅱ）如图2，若，，，求线段的长．
【解答】（1）证明：平分钝角，平分，
，，
，
；
（2）解：（ⅰ）；理由如下：
，
，
，
，
，
，
过点作于，如图1所示：
，，
、是等腰直角三角形，
，，，
，
，
；
（ⅱ）当点在点的左侧时，如图2所示：
同（ⅰ）得：，
，
，，
，
，
，
则，
，
，
，
，
，
，
作于，则，
在和中，，
，
，
，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
；
当点在点的右侧时，
则，
，
，
，，
；
综上所述，线段的长为或．
30．（成都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于点，且
．
（1）求直线的解析式；
（2）点为线段上一点，点为线段延长线上一点，且，设点横坐标为，求点的坐标（用含的式子表示，不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点在轴负半轴上，且，若，求直线的解析式．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
点，点
，，
，，
，
点，
设直线解析式为：，则，解得：
直线解析式为：；
（2）如图1，过点作于点，过点作于点，
点横坐标为，
点，
，
，
，，
，
，
故点的纵坐标为：，
直线的表达式为：，
即，解得：，
故点；
（3）如图2，连接，，过点作，
，，
是的垂直平分线，
，且，，
，，
，，，
，
，且，
，且，
，
，
，，
，且，，
，，
，
，
，，，
设直线的解析式为：，
，解得：
直线的解析式为：．
31．（新都区期末）如图1，在正方形（正方形四边相等，四个角均为直角）中，，为线段上一点，连接，过点作，交于点，将沿所在的直线对折得到，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，延长交的延长线于点，若，的面积为，求与之间的函数关系式．
【解答】解：（1）证明：
，
，
在于中，
，
，
，
（2）由翻折可知，，
连接，在和△中，，，
△△，
，
，，
，，
设，则，
在中，
解得：，
即．
（3）解：过点作于，由（1）知，．
设，则，
在中，，
．
，
．
32．（新都区期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，点在边的左侧，连接．
（1）求证：；
（2）试探究线段、与之间的数量关系；
（3）过点作交于点，若，，求线段的长．
【解答】（1）证明：和都是等腰直角三角形
，，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
在中，，且，
，
，
，
（3）解：连接，设，
，则，
都是等腰直角三角形，，
，
由 （1）、（2）可得，在中，
，
，
解得，
．
33．（新都区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点．直线与交于点且与轴，轴分别交于，．
（1）求出点坐标，直线解析式；
（2）如图2，点为线段上一点（不含端点），连接，一动点从出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点停止，求点在整个运动过程中所用最少时间时点的坐标；
（3）如图3，平面直角坐标系中有一点，使得，求点坐标．
【解答】解：（1）与轴，轴分别交于，两点，
则点、的坐标分别为：、，
将点的坐标代入并解得：，
故直线；
（2）直线，则点，
直线，则直线的倾斜角为，
过点作轴的平行线，过点作交于点，交直线于点，则点为所求，
，
直线，则点的横坐标为：，
则点；
（3）①点在的右侧时，
过点作直线的平行线，直线于直线交于点，则点为所求，
此时，理由：平行线间的距离相等，两个三角形属于同底等高，故面积相等．
则直线的表达式为：，
当时，，
故点，，
②点在的左侧时，
同理可得：点，；
故点的坐标为：，或，．
34．（青白江区期末）如图1所示，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接、．
（1）求证：的周长；
（2）若，，试判断的形状，并证明你的结论；
（3）若，，，如图2所示，求的长．
【解答】（1）证明：是的垂直平分线，
，
同理，，
的周长；
（2）解：是等边三角形，
理由如下：，，
，
，
，
，
同理可得，，
是等边三角形；
（3）解：，
，
，
设，
由勾股定理得，，即，
解得，，即，
，
在中，，即，
解得，．
35．（锦江区校级期末）在中，，，是的角平分线．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，作的角平分线交线段于点，若，求的面积；
（3）如图3，过点作于点，点是线段上一点（不与、重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点，试探究线段，与之间的数量关系，并说明理由．
【解答】证明：（1）如图1，过点作，
是的角平分线，，，
，
，，
，
；
（2）如图2，过点作，
，，
，
是的角平分线，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
的面积；
（3）若点在上时，，
理由如下：如图3所示：延长使得，连接，
，，是的角平分线，于点，
，，
，且
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
方法二、如图3所示：延长使得，连接，
，且
是等边三角形，
，
，，是的角平分线，于点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
若点在上时，，
理由如下：如图4，延长至，使得，连接，
由（1）得，．
于点．
．
．
是等边三角形．
，．
．
，
．
即．
在和中，
．
．
，
．
．
36．（青羊区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，，且与轴交于点，直线与交于点，且点的横坐标为．
（1）求直线的解析式；
（2）连接，试判断的形状；
（3）动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，同时动点从点出发沿轴的正半轴以相同的速度运动，当点到达点时，，同时停止运动．设与交于点，当为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的值．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，
故直线的表达式为：；
（2）直线的表达式为：，则点，
由点、、的坐标得：，，，
故，
故为直角三角形；
（3）直线的表达式为：，故点，，则，
则直线的倾斜角为，即，则，则
故点，，则，
则点是的中点，故，则，，
，则，
①当时，如图1，
则，故，
过点作轴于点，
则，
由勾股定理得：，
，
解得：；
②当时，如图2，
则，而，
，
故，即，
解得：；
③当时，
则，而，
而为外角，与所求三角形不存在外角关系，此时与重合，与重合，与重合，不构成三角形，故这种情况不存在；
综上，或．
37．（成华区期末）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）如图1，垂美四边形的对角线，交于．求证：；
（2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．
①求证：四边形是垂美四边形；
②若，，求的长．
【解答】（1）证明：垂美四边形的对角线，交于，
，
，
由勾股定理得：，
，
；
（2）①证明：连接、相交于点，交于点，如图2所示：
正方形和正方形，
，，，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
，即，
四边形是垂美四边形；
②解：四边形是垂美四边形，
由（1）得：，
，，
，
正方形和正方形，
，，
，
．
38．（成都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线交交轴于点
（1）求直线的解析式；
（2）将沿直线翻折得到（其中点的对应点为点，求证；
（3）在直线下方以为边作等腰直角三角形，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）直线与直线相交于点，
，
直线交交轴于点，
，
把代入得，，
，
直线的解析式为；
（2），
，
，
将沿直线翻折得到，
，
，
；
（3）如图，过作于，
则，
，
，
，
，
过作轴于，
是等腰直角三角形，
，
，
，
△，
，
；
同理可得，，，．
39．（成都期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于、两点．动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动，到达点即停止运动．其中、两点关于点对称，以线段为边向上作正方形．设运动时间为秒．如图①．
（1）当秒时，的长度为 2 ；
（2）设、分别与直线交于点、，求证：；
（3）在运动过程中，设正方形的对角线交于点，与交于点，如图2，求的最小值．
【解答】解：（1）在中，令，得，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2），
，
四边形是正方形，
，
，，，，
，
，
；
（3）作矩形，则，
，
点的运动轨迹是直线，
直线，，
点在直线上，
，
当，，三点共线时，的值最小，如图，
作于，
在等腰直角三角形中，，
，
，
的最小值为：．
40．（金牛区期末）（1）观察猜想
如图①，点、、在同一条直线上，，且，，则和是否全等？ 是 （填是或否），线段、、、之间的数量关系为 ．
（2）问题解决
如图②，在中，，，，以为直角边向外作等腰，连接，求的长．
（3）拓展延伸
如图③，在四边形中，，，，，于点，求的长，
【解答】解：（1）观察猜想
结论：，理由如下：
如图①，，，
，，
，
，
在和中，，
，
，，
，
故答案为：是，；
（2）问题解决
如图②，过作，交的延长线于，
由（1）得：，
，，
中，，
由勾股定理得：；
（3）拓展延伸
如图③，过作于，作于，
则四边形是矩形，
同（1）得：，
，，
四边形是正方形，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，或（舍去），
，，
，四边形的面积正方形的面积，的面积，
的面积四边形的面积的面积，
．
41．（金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与相交于点．
（1）求点的坐标；
（2）在轴上一点，若，求点的坐标；
（3）直线上一点，平面内一点，若以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，
令，则，
，
；
（2）如图1，
直线与轴交于点，
令．
，
，
，
由（1）知，，
，
联立直线，的解析式得，，
解得，，
，
，
，
，
直线与轴的交点记作点，
，
设点，
，
，
或，
点或；
（3）如图2，
①当点在直线上方时，
以、、为顶点的三角形与全等，
Ⅰ、当时，连接，，
由（2）知，，
由（1）知，，，
，
，
，
，
，
，，
直线是线段的垂直平分线，
点，关于直线对称，
，
过点，且点是的中点，
，
Ⅱ、当时，
，，
，
点，，
点向左平移4个单位，
点向左平移4个单位得，，
，
②当点在直线下方时，
，
由①Ⅱ知，，
，
，，
点与点关于直线对称，
，
，
，
而点先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，
，向左平移1个单位，再向下平移一个单位得，
，
即：点的坐标为或或．
42．（锦江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足．直线经过点和．
（1）点的坐标为 ， ，点的坐标为 ， ；
（2）如图1，已知直线经过点和轴上一点，，点是直线位于轴右侧图象上一点，连接，且．
①求点坐标；
②将沿直线平移得到△，平移后的点与点重合，为上的一动点，当的值最小时，请求出最小值及此时点的坐标；
（3）如图2，将点向左平移2个单位到点，直线经过点和，点是点关于轴的对称点，直线经过点和点．动点从原点出发沿着轴正方向运动，连接，过点作直线的垂线交轴于点，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点坐标．
【解答】解：（1），则，，
故点、的坐标分别为：、，
故答案为：，0；0，；
（2）由、的坐标得，直线的表达式为，
①直线经过点和轴上一点，，
则直线的表达式为：，平移后点，，
，则，
故点，；
②过点过轴的平行线交直线与点，过点作垂直于的延长线于点，
，则，
则，
为最小值，即点为所求，
则点，，
；
（3）点、、的坐标分别为：、、，
由、坐标得，直线的表达式为：，
设点，同理直线的表达式为：，
，则直线的表达式为：，故点，
即，
①当为直角时，
如图2左图，则点，
将点的坐标代入并解得：，
故点，；
②当为直角时，
如图2右图，则点，
将点的坐标代入并解得：，
故点；
③当为直角时，
如图2右图，则点，，
将点的坐标代入并解得：，
故点；
综上，点的坐标为：，或或．
43．（青羊区校级期末）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，且，直线经过点，，与轴、轴、直线分别交于点、、三点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，连接，当时，求点的坐标和的面积；
（3）如图2，当点在直线上运动时，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），
当时，，
，
，
，
，，
把，代入：中得：，
，
直线的解析式为：；
（2）如图1，过作轴于，
，，
，，
中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
把，和，代入中得：，
解得：，
直线，
即，
则，解得，
，，
；
（3）分四种情况：
①当在轴的正半轴上时，如图2，过作轴于，过作轴于，
是以为底边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
设，，则，
，
即，
，
，；
②当在轴的负半轴上时，如图3，过作轴于，过作轴于，
同理得：，
，，
设，，则，
，
即，
，
，；
③当在轴的负半轴上时，如图4，过作轴于，过作轴于，
同理得：，
，，
设，，则，
，
即，
，
，；
④当在轴的负半轴上时，如图5，过作轴于，过作轴于，
同理得：，
，，
设，，则，
，
即，
，
；
综上，存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，点的坐标是或，或，．
44．（青羊区期末）已知：中，，．
（1）如图1，点在的延长线上，连，过作于，交于点．求证：；
（2）如图2，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明；
（3）如图3，点在延长线上，且，连接、的延长线交于点，若，请直接写出的值．
【解答】（1）证明：如图1中，
于，
，
，
，
，
，
．
（2）结论：．
理由：如图2中，作于．
，
，，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
．
（3）如图3中，同法可证．
，设，则，，
．
45．（武侯区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，点在线段上，连接，且．（1）求线段的长度；
（2）如图2，点的坐标为，，过作交直线于点．动点在轴上从点向终点匀速运动，同时动点在直线上从某一点向终点，匀速运动，当点运动到线段中点时，点恰好与点重合，且它们同时到达终点．
当点在线段上时，设、，求与之间满足的一次函数关系式；
在的基础上，连接，过点作于点，当与的一边平行时，求所有满足条件的的值．
【解答】解：（1）、、的坐标分别为：、，；
，则点是的中点，则点的坐标为：，；
故；
（2）点、、的坐标分别为：、，、，；
点、、的坐标分别为：，、，、，；
设、的表达式为：，
当时，，即点，；
当时，，即点，；
将点即点，和点，代入并解得：
函数的表达式为：①；
直线的倾斜角，，，，、，
①当时，如图1，
则，
，
，
由勾股定理得：，即②；
联立①②并解得：；
②当时，如图2，
故点作交于点，作于点，作于点，
则，
，
，
③；
联立①③并解得：；
从图象看不可能平行于；
综上，或．
46．（成都期末）已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交轴于点，交轴于点，点是点关于轴对称的点，过点作轴平行的射线，交直线与点，点是射线上的一个动点．
（1）求点，的坐标．
（2）如图2，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求点的坐标．
（3）若直线与直线有交点，不妨设交点为（不与点重合），连接，是否存在点，使得，若存在，请求出对应的点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令，则，
，
令，则，
，
；
（2）点是点关于轴对称的点，
，
轴，
时，，，
，，，
由折叠知，，
，
设，
，，
在△中，，
，
；
（3）设，
，，
，
，
，
或，
或，
直线的解析式为①，
当时，直线的解析式为②，
联立①②解得，，，
，
当时，直线解析式为③，
联立①③解得，，，
，，
即：满足条件的点或，．
47．（成都期末）在等腰中，，
（1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接
①求证：；
②当，时，求的长；
（2）如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，求的长．
【解答】解：（1）①如图1中，
，
，，
，，
，
，，，
．
②如图1中，设，则．
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
（2）①当点在线段上时，如图2中，连接．
，
，
，，
，
，，
，
，
．
②当点在的延长线上时，如图3中，连接．
同法可证是直角三角形，，，
，
综上所述，的值为或．