必修 第二册6.1 平面向量的概念习题

6.1平面向量的概念 (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·全国·高一课时练习）下列说法：

①零向量是没有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量与任意一个向量共线.

其中，正确说法的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】

由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；

故选：C

2．（2022·全国·高一课时练习）下图中与向量相等的向量是（    ）

A．，，， B．， C． D．

【答案】D

【详解】

由相等向量的定义可知：

两个向量的长度要相等，方向要相同，

结合图形可知满足条件，

故选：D

3．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（    ）

①任一向量与它的相反向量都不相等；

②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

③平行且模相等的两个向量是相等向量；

④若，则；

⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

解：零向量与它的相反向量相等，①错；

由相等向量的定义知，②正确；

两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；

a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错；

两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.

所以正确的命题的个数为1，

故选：B.

4．（2022·全国·高一课时练习）若为任一非零向量，的模为1，下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（    ）

A．①④ B．③ C．①②③ D．②③

【答案】B

【详解】

①中，的大小不能确定，故①错误；

②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；

③中，为任一非零向量，则，故③正确；

④中，由题，故④错误.

故选：B．

5．（2022·四川省南充市李渡中学高二阶段练习）对于非零向量，，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

解：若，则，则，即充分性成立，

若，则不一定成立，即必要性不成立，

即“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

6．（2022·广东海丰·高一阶段练习）已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，

故选：C．

7．（2022·上海·高一课时练习）在四边形中，，且，则四边形是

A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形

【答案】A

【详解】

∵，

∴与平行且相等，

∴四边形为平行四边形．

又，

即平行四边形的对角线互相垂直，

∴平行四边形为菱形．

故选A．

8．（2022·全国·高二课时练习）下列说法：

①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

②若向量，满足，且与同向，则；

③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；

④的充要条件是与重合，与重合.

其中错误的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.

②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.

③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.

④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.

故选：C

二、填空题

9．（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，点､､分别是边､､的中点，在以､､､､､为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是___________.

【答案】5

【详解】

由图知：与向量的模相等的向量有，

∴共有5个.

故答案为：5.

10．（2022·上海·高一课时练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________ ．

【答案】②③

【详解】

对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；

对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；

对于③，若,，则，显然正确，故③正确；

对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确，

对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确.

故答案为：②③

11．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量

则：（1）与向量相等的向量有_______；

（2）与向量共线，且模相等的向量有________；

（3）与向量共线，且模相等的向量有________.

【答案】，    ，，，，    ，，，，   

【详解】

解：解：（1）与向量相等的向量是，；

（2）与向量共线且模相等的向量是，，，，   ，

（3）与向量共线且模相等的向量，，，，

故答案为：（1），；

（2），，，，；

（3），，，，.

三、解答题

12．（2022·全国·高一课时练习）如图，，，分别是正三角形各边的中点.

(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；

(2)写出图中所示向量与向量相等的向量；

(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量.

【答案】(1)，，，，，，，.(2)，.(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.

试题解析：

(1)与长度相等的向量是，，，，，，，．

(2)与相等的向量是，．

(3)与共线的向量是，，；

与共线的向量是，，．

B应考能力

13．（2022·全国·高一课时练习）在四边形中，，且，那么四边形为（    ）

A．平行四边形 B．菱形 C．长方形 D．正方形

【答案】B

【详解】

解：，，四边形为平行四边形，

又，平行四边形为菱形.

故选：B.

14．（2022·陕西·周至县第二中学高二期末（理））下列命题中，真命题的个数为（    ）

①若，则；②零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直；③所有单位向量都相等；④若，则、、三点共线；

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

①相等向量是指大小相等方向相同的两个向量，若，则的方向不一定相同，错误；

②零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直，正确；

③所有单位向量模长相等，但是方向不一定相同，错误；

④若，且两个向量有共同的起点A，则、、三点共线；

故选：B.

15．（2022·上海市进才中学高一期中）下列关于向量的命题，序号正确的是_____.

①零向量平行于任意向量；

②对于非零向量，若，则；

③对于非零向量，若，则；

④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.

【答案】①③

【详解】

因为零向量与任一向量平行，所以①正确；

对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，

故不一定等于，故②错误；

对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；

对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.

故选：①③

16．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

（1）与相等的向量共有几个；

（2）与方向相同且模为的向量共有几个；

【答案】（1）5；（2）2.

【详解】

解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，

每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，

则，

（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，

则与相等的向量共有5个，如图1；

（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.

17．（2022·上海·高一课时练习）如图所示，四边形中，=，，是，上的点，且=.求证：=.

【答案】见解析

试题解析：因为=，所以||=||且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形.所以||=||且DA∥CB.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以||=||，所以||=||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同，所以=.

【方法点睛】本题主要考查向量的对于，以及相等向量的证明方法，属于简单题.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等，本题中，根据相等向量的两个基本性质，利用平面几何知识进行解答.

C新素养 新题型

18(多选)．（2022·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）下列叙述中错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则与方的方向相同或相反

C．若且，，则

D．对任一向量，是一个单位向量

【答案】ABD

【详解】

对于A，向量不能比较大小，A错误；

对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；

对于C，因为不为零向量，所以与是共线向量，故C正确；

对于D，当时，无意义，故D错误.

故选：ABD

19(多选)．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中）下列说法正确的有（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则与的方向相同或相反 D．若、共线，则、、三点共线

【答案】BD

【详解】

对于A选项，若，、均为非零向量，则，成立，但不一定成立，A错；

对于B选项，若，，则，B对；

对于C选项，若，，则的方向任意，C错；

对于D选项，若、共线且、共点，则、、三点共线，D对.

故选：BD.

20．（2022·江苏·高一）如图所示，平行四边形中，是两对角线，的交点，设点集，向量集合，试求集合中元素的个数.

【答案】12

【详解】

由题可知，集合中的元素实质上是中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，。

由平行四边形的性质可知，共有对向量相等：即，，，，，，，，

因为集合元素具有互异性，所以集合中的元素共有12个。