高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）第1课时同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）第1课时同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价( )
A．10%B．9%
C．11%D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(11\f(1,9)))%
答案 D
解析 设应提价的百分率为p，原价为a，则a(1－10%)·(1＋p)＝a，∴1＋p＝eq \f(10,9)，p＝eq \f(1,9)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(11\f(1,9)))%.
2．某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比( )
A．不增不减B．约增8%
C．约增5%D．约减8%
答案 D
解析 设原来成本为a，则现在的成本为a(1＋20%)2·(1－20%)2＝0.9216a，比原来约减8%.
3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.79万公顷，则沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2xB．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10)D．y＝0.2＋lg16x
答案 C
解析 当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C．
4．某工厂的产值月平均增长率为p，则年平均增长率是( )
A．(1＋p)11B．(1＋p)12
C．(1＋p)11－1D．(1＋p)12－1
答案 D
解析 设第一年的第一个月的产值为a，则第一年的产值M＝a＋a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)11，
第二年的产值N＝a(1＋p)12＋a(1＋p)13＋…＋a(1＋p)23＝M·(1＋p)12.
∴年平均增长率为eq \f(N－M,M)＝(1＋p)12－1.
5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78B．2.77
C．2.89D．4.40
答案 B
解析 由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝eq \f(1,2)，即－0.25t＝ln eq \f(1,2)＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
二、填空题
6．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________；经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．
答案 2ln 2 1024
解析 设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝eeq \f(k,2)，解得k＝2ln 2，当t＝5时，y＝e(2ln 2)·5＝e10ln 2＝210＝1024(个)．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000·ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
答案 e6－1
解析 当v＝12000时，2000·ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝12000，
∴ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝6.∴eq \f(M,m)＝e6－1.
8．为了预防甲流的发生，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1，t＞0.1.))
据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
答案 0.6
解析 由题意可得y≤0.25＝eq \f(1,4)，
即得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t≤\f(1,4)，,0≤t≤0.1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1≤\f(1,4)，,t＞0.1，))
得0≤t≤eq \f(1,40)或t≥0.6.因为前0.1个小时药物浓度是逐渐增大的，故至少需要经过0.6小时后才可回教室．
三、解答题
9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与lg3eq \f(Q,100)成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数．
解 (1)设V＝k·lg3eq \f(Q,100)，
∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·lg3eq \f(900,100)，
∴k＝eq \f(1,2)，∴V关于Q的函数解析式为V＝eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100).
(2)令V＝1.5，则1.5＝eq \f(1,2)lg3eq \f(Q,100)，∴Q＝2700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位．
10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
解 设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则第一次过滤后杂质剩余量为2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))，
第二次过滤后杂质剩余量为
2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2，
……
第x次过滤后杂质剩余量为
2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))x≤0.1%，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x≤eq \f(1,20).①
对①式两边取对数，得
x(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
∴x≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4.据实际情况知x∈N，
∴x≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
B级：“四能”提升训练
1．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2006年诺贝尔奖的奖金发放后基金总额约为19800万美金．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖的奖金发放后的基金总额(2006年记为f(1)，2007年记为f(2)，…，依次类推)．
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2016年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由(参考数据：1.03129≈1.32)．
解 (1)由题意，知f(2)＝f(1)×(1＋6.24%)－eq \f(1,2)f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，
f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－eq \f(1,2)f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．
(2)2015年诺贝尔奖发放后基金总额为
f(10)＝19800(1＋3.12%)9≈26136，
故2016年度诺贝尔奖各项奖金均为eq \f(1,6)×eq \f(1,2)f(10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，所以是假新闻．
2．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．
(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解 (1)若m＝2，
则θ＝2·2t＋21－t＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(1,2t)))，
当θ＝5时，2t＋eq \f(1,2t)＝eq \f(5,2)，
令2t＝x≥1，则x＋eq \f(1,x)＝eq \f(5,2)，
即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq \f(1,2) (舍去)，
此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，
即θ≥2恒成立．
亦m·2t＋eq \f(2,2t)≥2恒成立，
亦即m≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2t)－\f(1,22t)))恒成立．
令eq \f(1,2t)＝y，则0