3.2.2 函数的奇偶性 -【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数的奇偶性

1 函数奇偶性的概念

(1) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.

(2) 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.

由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的.

注 ① 从定义可知，若是函数定义域中的一个数值，则也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的前提是：定义域关于原点对称．如是非奇非偶函数.

② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即，，是关于原点对称的实数集．

2 性质

① 偶函数关于轴对称；

② 奇函数关于原点对称；

③ 若奇函数定义域内含有，则；

证明 为奇函数，．

令，则，即，．

④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．

【例】设奇函数的定义域是且图象的一部分如图所示，则不等式的解集是__________．

【练】如图，给出了偶函数的局部图象，试比较与的大小．

3 判断函数奇偶性的方法

① 定义法

先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数.

② 数形结合

若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数.

③ 取特殊值排除法(选择题)

比如：若根据函数得到，则排除是偶函数.

④ 性质法

偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数；

奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数；

一个奇函数与偶函数的积为奇函数.

对于复合函数的奇偶性如下图

【题型1】判断函数的奇偶性

【典题1】 判断下列函数的奇偶性

；     ； ；

；      ．

【巩固练习】

1. 函数的奇偶性为   (　　)

A．奇函数    B．偶函数   C．既是奇函数又是偶函数    D．非奇非偶函数

2. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是(    )

A．奇函数      B．偶函数      C．既是奇函数又是偶函数   D．非奇非偶函数

3.如果定义在区间上的函数为奇函数，那么________.

4.判断函数的奇偶性．

【题型2】函数奇偶性的运用

【典题1】 若函数的图象关于轴对称，则常数  (　　)

  或 不存在

【典题2】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则     .

【典题3】 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________．

【巩固练习】

1.设函数是定义在上的奇函数，且，则(　　)

2.已知函数是奇函数，当时，，则(　　)

3.若函数为奇函数，则实数(　　)

．   

4.已知函数是偶函数，则常数的值为　　．

5.已知为定义在上的奇函数，当时，则        .

【题型3】函数的奇偶性与单调性的综合

【典题1】 若函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则(　　)

A．         B．  

C．       D．

【典题2】函数是定义在区间上的奇函数，且．

(1)确定函数的解析式；

(2)用定义证明：在区间上是增函数；

(3)解不等式：．

【巩固练习】

1.奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则的值为      .

2.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则由大到小的关系是__________．

3.已知偶函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是   .

4.已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是