人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案

课程目标

学科素养

A.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．

B.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．

1.数学抽象：异面直线所成的角的定义；

2.逻辑推理：作异面直线所成的角；

3.数学运算：求异面直线所成的角；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.空间两直线的位置关系：

【答案】相交、平行、异面

2.在平面内，两直线所成的角是什么？

【答案】在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度

二、探索新知

观察：如图，在正方体中，直线与直线AB，直线与直线AB都是异面直线，直线与相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？

【答案】不同

思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找  

      出这个夹角？

1.异面直线所成角的定义:

如图,已知两条异面直线a，b,经过空间任一点O作直线a′//a，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).

思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?

【答案】无关，不改变。

2.异面直线所成角的范围：

例1  如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.

（1）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

  （2）求直线BA′与CC′所成的角大小。

  （3）求直线BA′与AC 所成的角大小。

例2  如图，在正方体中，为底面的中心。求证： 。

通过复习前面所学两条直线位置关系，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过观察与思考，引入异面直线所成角的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，进一步理解异面直线所成的角，提高学生分析问题、概括能力。

通过例题讲解，让学生理解怎样求两异面直线所成的角，提高学生解决问题的能力。

通过例题讲解，让学生理解怎样证两异面直线垂直，提高学生解决问题的能力。

三、达标检测

1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)

A．异面　　　　　　 B．平行

C．相交   D．以上都有可能

【答案】D　

【解析】当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面．

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)

A．45°   B．60°

C．90°   D．120°

【答案】B　

【解析】取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.

3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是        ．

【答案】60°　

【解析】连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，

∴∠CAD1＝60°，

即AC与BC1所成的角为60°.

4．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是        ．

【答案】90°

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠PAB是PA与CD所成的角．

又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.

5．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．

【解析】　因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 异面直线所成角定义；

2.异面直线所成角的求法：

一作(找)、二证、三求

五、作业

习题8.6   4题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。