2021学年8.6 空间直线、平面的垂直教学设计

8.6.1 直线与直线垂直

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)

一、教学目标

1. 理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角；

2. 掌握证明两条异面直线垂直的方法.

3. 使学生感受空间几何存在于身边，提高学生观察能力，提升数学空间想象能力。

二、教学重难点

1.异面直线所成的角，两条异面直线垂直的定义.

2.求异面直线所成的角.

三、教学过程

1.新课导入

空间中两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线、异面直线。初中已经研究了平行直线和相交直线，本节主要研究异面直线。

如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与直线A'D'相对于直线AB的位置相同么？如果不同，如何表示这种差异呢?

【设计意图】理论是源于实际生活的，通过正方体直观感受异面直线的位置。

2.新课讲授

2.1.探索新知

（1）平面内两条相交直线形成四个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角

（2）我们可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系

已知两条异面直线啊a,b,经过空间任一点O分别作直线a'//a，b'//b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)

【设计意图】引入新概念，通过异面直线的夹角来确定异面直线的位置。

2.2.异面直线垂直

   如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。

直线a与直线b垂直，记作：

【设计意图】通过展示异面直线的夹角的特殊位置，引入本节课重点两条异面直线垂直的概念。

2.3.直线与直线垂直

【设计意图】梳理出空间两条直线垂直的具体分类。

2.4.角的取值范围

2.4.1异面直线所成角α的取值范围范围：

2.4.2当两条直线a,b互相平行时，我们规定它们所成角为0°

【设计意图】梳理出异面直线以及空间两条直线角的范围，以及说明特殊位置。

3.初步应用，理解概念

 例1已知正方体ABCD-A'B'C'D' ，

(1) 哪些棱所在的直线与直线AA’垂直？

(2) 求直线BA '与CC '所成的角的大小？

(3) 求直线BA '与AC所成的角的大小？

【设计意图】创设数学情境，通过正方体模型，指导学生学会快速判断两条直线是否垂直，以及学会求解简单异面直线夹角。

　例2在正方体ABCD-A 'B 'C 'D '，O '为底面A'B'C'D'的中心

　　求证：AO' ⊥BD

【设计意图】在形成异面直线的主管感受后，遵循从特殊到一般的思路，在实践活动中进行再认识，提升难度，设计思维梯度，指导学生学会如何判定较为复杂的两条直线异面垂直。

练习1判断下列命题是否正确

（1）如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直（  ）

（2）垂直于同一条直线的两直线平行（   ）                                                                 

练习2如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中

（1）与直线AB垂直的直线有______条

（2）与直线AB异面且垂直的直线有______条

（3）与直线AB和A'D'都垂直的直线有_______条

（4）与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是_______条

练习3如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中AB=AD=2√3,AA'=2.求

（1）直线BC与A'C'所成角的大小；

（2）直线AA'和BC'所成角的大小；

【设计意图】在解题中加深对概念的理解，形成解题的基本思路，掌握解题的基本技能。

4.课堂小结

异面直线所成角的求法：一作(找)、二证、三求

(1)作：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成角。

(2)证：证明作出的角就是要求的角

(3)求：求角度

(4)若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成角。

5.课外作业（略）