初中人教版14.2.1 平方差公式学案设计

这是一份初中人教版14.2.1 平方差公式学案设计，共4页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

14.2.1 平方差公式
学习目标：1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
重点：掌握平方差公式的结构特征.
难点：应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
自主学习
一、知识链接
1.多项式乘以多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．
2．计算：
(1)(x＋1)(x＋3)＝_________________；(2)(x＋3)(x－3)＝________________；
(3)(m＋n)(m－n)＝________________．
二、新知预习
算一算：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①（x ＋ 1)( x－1）=_______________；②（m ＋ 2)( m－2）=_______________；
③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________； ④（5y ＋ z)(5y－z）=_______________.
想一想：这些计算结果有什么特点？
要点归纳：(a+b)(a−b)=_________,即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.
试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？
剩余部分的面积为：____________ 新长方形的面积为：____________
自学自测
1.填一填：
2.下列各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)(x＋3)(x－3)＝x2－3；(2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4.
我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
教学备注
配套PPT讲授
1.复习引入
（见幻灯片3）
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片4-20）
课堂探究
要点探究
探究点1：平方差公式
典例精析
例1：利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
方法总结:应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
例2：计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
方法总结:(1)中应根据平方差公式的特征，合理变形后，利用平方差公式，简化运算.
(2)中不符合平方差公式条件的乘法运算，应按照多项式乘以多项式的乘法法则进行计算.
例3：先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
例4：对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
方法总结:对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
教学备注
配套PPT讲授
3.课堂小结
例5：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
针对训练
1.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是( )
A．(x＋1)(1＋x) B．(eq \f(1,2)a＋b)(b－eq \f(1,2)a) C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(x＋y2)
2.对于任意正整数n，能整除式子(m＋3)(m－3)－(m＋2)(m－2)的整数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
计算：
(l)(-a+b)(a+b)=_________. (2)(a-b)(b+a)= __________.
(3)(-a-b)(-a+b)= ________. (4)(a-b)(-a-b)= _________.
4.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是________________________．
图1图2
5.计算：
(1)(eq \f(1,4)a－1)(eq \f(1,4)a＋1)；(2)(2m＋3n)(2m－3n)．
6.先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝eq \f(1,2).
相同为a
二、课堂小结
(a+b)(a-b)=a2-b2
互为相反数的为b
教学备注
配套PPT讲授
4.当堂检测
（见幻灯片21-27）
当堂检测
下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
计算（2x+1）（2x-1）等于（ ）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
4.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)； （3）(－2x2－y)(－2x2+y).
5.计算： 20152 － 2014×2016.
6.利用平方差公式计算:
（1)(a-2)(a+2)(a2 + 4); (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
拓展提升
8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
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(a-b)(a+b)
a
b
a2-b2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)