高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教课内容ppt课件

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4.5.3　函数模型的应用
第四章　 §4.5 函数的应用(二)
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.
2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题.
导语
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
问题1　你能写出几种函数模型？
提示　
问题2　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？
提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.(4)还原——将数学结论还原为实际问题.
内容索引
应用已知函数模型解决实际问题

一
Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝ ，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)＝0.9K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)A.60 B.62 C.66 D.69
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解得t*≈62.
利用已知函数模型解决实际问题(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
反思感悟
√
指数型函数模型

二
习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的重要理念，说明呵护地球，人人有责.某省为响应该理念，计划每年都增长相同百分比的绿化面积，且3年时间绿化面积增长4.5%(参考数据： ≈10.150，lg 1 015≈3.006，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)，试求：(1)每年绿化面积的增长率；
故每年绿化面积的增长率约为1.5%.
设每年绿化面积的增长率为p，则(1＋p)3＝1.045，
因此，习近平总书记最迟在2013年首次提出该理念.
而2 022－9＝2 013，
在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
反思感悟
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
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设x年后研发资金开始超过200万元，所以130(1＋12%)x>200，
故2024年研发资金开始超过200万元.
对数型函数模型

三
√
反思感悟
对数型函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解.(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.
20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已经比较明显，7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的A.20倍 B.lg 20倍 C.100倍 D.1 000倍
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设7级地震最大振幅为A1，则7＝lg A1－lg A0，5级地震最大振幅为A2，则5＝lg A2－lg A0，所以7－5＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0)
所以7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍.
课堂小结
1.知识清单： (1)应用已知函数模型解决实际问题. (2)指数型函数模型. (3)对数型函数模型.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论.
随堂演练

1.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为
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2.下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2tC.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2
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由所给的散点图可得，图象大约过(2,4)，(4,16)，(6,64)，所以该函数模型应为指数函数.
3.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为A.略有亏损 B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况
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由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.
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课时对点练

1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是A.y＝2t B.y＝2t2C.y＝t3 D.y＝log2t
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2.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中，能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是A.y＝100x B.y＝50x2－50x＋100C.y＝50×2x D.y＝100x
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将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
3.某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－x2＋12x－10，那么该商品的日利润最大时，当日售价为A.5元 B.6元 C.7元 D.26元
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y＝－x2＋12x－10＝－(x－6)2＋26，所以当x＝6时，y取最大值26.
4.在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝ －x＋40，其中20√
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由题意可得所得利润为
所以当x＝30时利润最大，最大利润为10 100元，C正确，D错误.
5.为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益，解放军组织多种战机巡航.已知海面上的大气压强是760 mmHg，大气压强P(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为P＝760e－hk(e为自然对数的底数，k是常数)，根据实验知500 m高空处的大气压强是700 mmHg，则当歼20战机巡航高度为1 000 m，歼16D战机的巡航高度为1 500 m时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的______倍(精确度为0.01)A.0.67 B.0.92 C.1.09 D.1.26
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所以歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的1.09倍.故选C.
6.(多选)如图，某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at(a>0，且a≠1)，以下叙述中正确的是A.这个指数函数的底数是2B.第5个月时，浮萍的面积就会超过35 m2C.浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月D.浮萍每个月增加的面积都相等
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将点(1,2)代入y＝at中，得a＝2，所以y＝2t，所以A正确；当t＝5时，y＝25＝32<35，所以B错误；当y＝4时，t＝2，当y＝16时，t＝4，所以浮萍从4 m2蔓延到16 m2需要经过2个月，所以C正确；由指数函数y＝2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误.
7.某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低 ，则现在价格为8 100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为________元.
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8.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ为正常数.由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为_______________.
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9.英国物理学家和数学家牛顿(Isaac Newton,1643－1727年)曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t后物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－kt，其中k为正常数.某冬晨，警局接到报案，在街头发现一位已经死亡的流浪者，早上六点测量其体温为13 ℃，到早上七点时，其体温下降到11 ℃. 若假设室外温度约维持在10 ℃，且人体正常体温为37 ℃，请你运用牛顿冷却模型判定流浪汉在早上几点死亡.
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所以可以判定流浪汉在早上4点死亡.
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10.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加.(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
依题意，得一年后这种鸟类的个数为1 000＋1 000×8%＝1 080，两年后这种鸟类的个数为1 080＋1 080×8%≈1 166.
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(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N.
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(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
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令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥lg 3，
因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2，
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故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.
11.某公司职工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区始终在同一直线上，位置如图所示，公司接送车筹划在此间只设一个停靠点，要使所有职工步行到停靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在A.A区 B.B区C.C区 D.A，B两区之间
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由题意得，若停靠在A区，所有员工路程和为15×100＋10×300＝4 500(米)；若停靠在B区，所有员工的路程和为30×100＋10×200＝5 000(米)；若停靠在C区，所有员工的路程和为30×300＋15×200＝12 000(米)；若停靠点在A区和B区之间，设距离A区为x米，所有员工的路程和为30x＋15×(100－x)＋10×(100＋200－x)＝5x＋4 500，当x＝0时取得最小值，故停靠点为A区.综上，若停靠点为A区，所有员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在A区.
12.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是A.16 h B.20 h C.24 h D.26 h
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由题意可知，当x＝0时，y＝192；当x＝22时，y＝48，
13.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过____小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1 h)A.2.3 B.3.5 C.5.6 D.8.8
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设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.则2 500×0.8x＝1 500，即0.8x＝0.6，所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6，
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设至少需要x块玻璃板，
即x·(lg 9－lg 10)<－lg 2，即x·(1－2lg 3)>lg 2，
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15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝ 函数的图象如图所示.如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A.9：00 B.8：40 C.8：30 D.8：00
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根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，
解得0＜t≤2.5或t≥30，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00.
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(2)问从栽种之日起，第几年树木生长最快？
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问题化为当x∈N时，求函数g(x)的最大值.
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故从栽种之日起，第4年与第5年树木生长最快.