高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用备课ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用备课ppt课件，文件包含§57第1课时三角函数的应用一pptx、§57第1课时三角函数的应用一docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。


第1课时　三角函数的应用(一)
第五章　§5.7 三角函数的应用
学习目标
1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.
2.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题.
导语
现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题.
内容索引
简谐运动

一
问题1　现实生活中存在大量周而复始、循环往复特点的周期运动的变化现象，你能举出哪些例子？
提示　弹簧振子的运动，钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，日出日落，潮涨潮落，一天温度的变化，一天人员流动的变化等等.很显然，三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以更好的“拟合”这种周期性的变化.
问题2　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.
提示　振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画.根据已知数据作出散点图，如图所示.
知识梳理
1.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.2.A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
注意点：
3πx－π
所以相位ωx＋φ＝3πx－π.
反思感悟
若y＝Asin(ωx＋φ)是一个简谐运动的解析式，则A>0，ω>0，若A，ω不满足条件，则利用诱导公式变形，使之满足，再根据概念求值.
弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 sC.周期为6 s D.频率为6 Hz
√
三角函数“拟合”模型的应用

二
下表所示的是某地2000～2021年的月平均气温(华氏度).
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系.(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示.
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.
∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
∴②不适合，同理④不适合，∴③最适合.
反思感悟
处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤(1)根据原始数据绘出散点图.(2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：
(1)作出这些数据的散点图；
散点图如图所示.
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据.
设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋c，
三角函数在物理中的应用

三
已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
由题图可知A＝300，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943.
反思感悟
处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
列表如下：
描点、连线，图象如图所示.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
课堂小结
1.知识清单： (1)简谐运动. (2)函数的“拟合”. (3)三角函数在物理中的应用.2.方法归纳：数学建模、数形结合.3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题.
随堂演练

√
1
2
3
4
1
2
3
4
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s往返一次.
0.8
课时对点练

√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝ sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为A.200 B.400 C.200π D.400π
√
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3
得I＝2.5 A.
√
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
∴I＝300sin(100πt＋φ).
6.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是A.该质点的运动周期为0.8 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
√
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3
√
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
2
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
列表：
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
描点、连线，画图如下.
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？
小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
③小球来回摆动一次需要多少时间？
小球来回摆动一次需要1 s(即周期).
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
10.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
(1)根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)，②y＝Acos(ωt＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
根据表中近似数据画出散点图，如图所示.
依题意，选②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作为函数模型，
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
又∵函数图象过点(3,2.4)，
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
(2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
∴12k－1≤t≤12k＋7，又∵5≤t≤18，
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
∴5≤t≤7或11≤t≤18，∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全.
√
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3
13.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m.每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
14.如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.
若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为______m.
4
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
由题意得函数y＝Asin ωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)的周期为T＝12，
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
15.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是A.10 000元 B.9 500元C.9 000元 D.8 500元
√
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
3
所以当x＝3时，y＝9 000.
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
16.在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如下表所示：
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
(1)试选用一个形如y＝Asin(ωx＋φ)＋t的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式；
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足y＝Asin(ωx＋φ)＋t，由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，∴19.4－5.4＝14，故A＝7.又19.4＋5.4＝24.8，故t＝12.4.
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时.
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
∴这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时.