高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）习题ppt课件

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习题课　函数性质的综合问题
第三章　函数的概念与性质
学习目标
1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.
2.掌握函数性质的综合应用问题.
内容索引
函数图象的对称性

一
问题1　当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？
提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
问题2　当函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称时，又会满足怎样的条件呢？
提示　如图所示，在x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)；反之，若对定义域内任意x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
知识梳理
1.函数图象关于直线对称
2.函数图象关于点对称
　　定义在R上的偶函数y＝f(x)，其图象关于点　　 对称，且x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋ ，则 等于A.－1 　　 B.0 　　C.1 　　 D.
√
即f(1＋x)＋f(－x)＝0.又∵y＝f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)，
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法：(1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论.(2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.注意：使用性质要规范，切不可自创性质！
反思感悟
　　　 若函数y＝f(x)在(0,2)上单调递增，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是
√
∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x).故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
函数性质的综合应用

二
　　已知函数f(x)＝　　 是定义在(－1,1)上的奇函数，且 .(1)确定函数f(x)的解析式.
(2)用定义法证明f(x)在(－1,1)上是增函数.
任取x1，x2∈(－1,1)，且令x1∵－1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
f(t－1)<－f(t)＝f(－t).∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
奇偶性、单调性的综合应用利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.
反思感悟
　　　 已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x).(1)求函数g(x)的定义域.
(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.
由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，所以f(x－1)≤－f(3－2x).因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3).而f(x)在(－2,2)上是减函数，
课堂小结
1.知识清单： (1)函数的对称轴和对称中心. (2)函数奇偶性的综合应用.2.方法归纳：数形结合、等价转化.3.常见误区：容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)＝0.
随堂演练

1.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是
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2.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1<0且x1＋x2>0，则A.f(－x1)>f(－x2)B.f(－x1)＝f(－x2)C.f(－x1)√
3.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是A.(－∞，1) B.(－1，＋∞)C.[－1，＋∞) D.(－∞，1]
√
因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1).又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.
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4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)<5的解集是 ________.
(－7,3)
课时对点练

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1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2)的值是A.0 　　B.1 　　 C.2 　　 D.4
√
由题意得f(0＋2)＝f(2)＝f(0)＝0.
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2.已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上A.单调递增 B.单调递减C.有增有减 D.增减性不确定
√
由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图象(图略)知，在区间(2,5)上单调递减.
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3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)＝f(4－x)，当－2≤x<0时，
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∵f(x)＝f(4－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又∵函数f(x)为奇函数，
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4.已知函数f(x)在区间(0,2)上是减函数，又函数y＝f(x＋2)是偶函数，那么f(x)A.在区间(2,4)上是减函数B.在区间(2,4)上是增函数C.在区间(－2,0)上是减函数D.在区间(－2,0)上是增函数
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∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)关于y轴对称，即函数y＝f(x)关于x＝2对称，∵函数f(x)在(0,2)上是减函数，∴函数f(x)在(2,4)上是增函数.
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偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
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6.(多选)若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是A.3个交点的横坐标之和为0B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关C.f(0)＝0D.f(0)的值与函数解析式有关
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7.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4,4)，且在(－4,0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是__________________.
(－4，－2)∪(0,2)
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设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，由图象可知，当－40，g(x)<0，即h(x)<0，当00，即h(x)<0，所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0,2).
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8.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝___.
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∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
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即f(－x)＝f(1＋x).∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(－2)＝－f(2)＝0，同理，f(4)＝f(5)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
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9.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)＝1＋ .(1)求f(2)的值；
根据题意，得函数f(x)为奇函数，
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在(－∞，0)上任取x1，x2，且x1(2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0)上的单调性；
又由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，可得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调递减.
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由函数f(x)为奇函数知f(x)＝－f(－x)，
(3)求当x>0时，f(x)的解析式.
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10.已知函数f(x)＝x2－mx(m>0)在区间[0,2]上的最小值为g(m).求函数g(m)的解析式.
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此时g(m)＝f(2)＝4－2m.
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11. 定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图，则下列函数中在(－2,0)上与f(x)的单调性不同的是A.y＝x2＋1 B.y＝|x|＋1
易知f(x)在(－2,0)上单调递减，A，B，C选项中函数在(－∞，0)上单调递减，D选项中，函数在(－∞，0)上单调递增.
√
12.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是A.f(x)－1为奇函数 B.f(x)－1为偶函数C.f(x)＋1为奇函数 D.f(x)＋1为偶函数
√
∵对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1.∴f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，∴f(x)＋1为奇函数.
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13.设定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为A.{x|－11}B.{x|x<－1或01} D.{x|－1√
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∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，从而有函数f(x)的大致图象如图所示.则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－11
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14.已知函数f(x)＝ 若f(x－1)(－∞，－2)∪(0，＋∞)
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若x>0，则－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x＝f(x)，同理可得，当x<0时，f(－x)＝f(x)，且x＝0时，f(0)＝f(0)，所以f(x)是偶函数.因为当x>0时，函数f(x)单调递增，所以不等式f(x－1)0，解得x>0或x<－2.
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15.(多选)函数f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，下列函数有对称中心的是A.f(x)＝x B.f(x)＝x3－3x2C.f(x)＝x4＋x2 D.f(x)＝
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∵函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，∴f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b.对于A，由f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题意；对于B，f(x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，∴当a＝1，b＝－2时，P(1，－2)即为其对称中心，故B满足题意；
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对于C，∵f(x)＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致为.
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D，f(x)＝ 的图象如图所示.其图象关于(1,0)对称.
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16.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数y＝f(x)满足f(xy)＝f(x)－ ，且函数f(x)在(－∞，0)上单调递减.(1)求f(－1)，并证明函数y＝f(x)是偶函数；
得f(1)＝f(x)－f(x)＝0，再令x＝1，y＝－1，可得f(－1)＝f(1)－f(－1)，得2f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝0，令y＝－1，可得f(－x)＝f(x)－f(－1)＝f(x)，又该函数的定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数.
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因为f(2)＝1，又该函数为偶函数，所以f(－2)＝1.因为函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，
解得1≤x<2或2