2021学年4.5 函数模型及其应用精练

4.5   函数的模型及其应用  同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)某商品自上市后前两年价格每年递增10%，第三年价格下降了20%，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是(   )

A.不增不减 B.下降了2.8％ C.增加了2.8% D.下降了3.2％

2、(4分)下表表示的是某实验数据，现准备用某个函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(   )

A. B. C. D.

3、(4分)苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为(   )

（可能用到数值）

A.3.23 B.2.881                C.1.881                D.1.23

4、(4分)在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为(   )

A.50% B.60% C.70% D.80%

5、(4分)2021年诺贝尔物理学奖揭晓，获奖科学家真锅淑郎(Syukuro Manabe)、克劳斯·哈塞尔曼(Klaus Hasselmann)的杰出贡献之一是建立了地球气候物理模型，该模型能够可靠地预测全球变暖情况.研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约(参考数据：)(   )

A.1℃ B.2℃ C.3℃ D.4℃

6、(4分)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？（参考数据：）

A.3 B.6 C.7 D.8

7、(4分)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%的新鲜度（已知，结果取整数）(   )

A.23天 B.33天 C.43天 D.50天

8、(4分)2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.若A型火箭的喷流相对速度为1000 m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（，）(   )

A.4890 m/s B.5790 m/s C.6219 m/s D.6825 m/s

9、(4分)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间(单位：min)，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要.则k的值为(   )

A. B. C. D.

10、(4分)某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是(   )

(参考数据：，，，)

A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年

二、填空题(共25分)

11、(5分)某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.

12、(5分)北京时间2012年10月11日19点,瑞典文学院诺贝尔评审委员会宣布,中国作家莫言获得2012年诺贝尔文学奖,全国反响强烈,在全国掀起了出书热潮。国家对出书所得的稿费纳税作如下规定：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元，则这个人的稿费为________.

13、(5分)某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的关系式为，若每台产品的售价为8万元，且当产量为6台时，生产者可获得的利润为16万元，则____________.

14、(5分)某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只.

15、(5分)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，t min后物体的温度可由公式求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40℃，那么t的值约等于_______________.(保留三位有效数字，参考数据：，)

三、解答题(共35分)

16、(8分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；

(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

17、(9分)某森林出现火灾，火势正以100 的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防队员前去，在火灾发生5 min后到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50 ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 森林的损失费为60元，则应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？

18、(9分)某企业自主开发出一款新产品A，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产x（千件）A产品，需另投入生产成本（千元），且

（1）求该企业生产一件A产品的平均成本p（元）关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；（总成本=研发成本+生产成本）

（2）该企业欲使生产一件A产品的平均成本元，求其年生产址x（千件）的取值区间？

19、(9分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按万元进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).

(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.

(2)如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

参考答案

1、答案：D

解析：本题考查函数模型与生活中的应用.设商品原价格为a元，则，下降了.

2、答案：A

解析：本题考查函数模型的选择.作出散点图，如下图，可知该函数单调递增，符合对数函数图象性质，经数值验证，符合A选项的函数关系.

3、答案：B

解析：





所以


的近似值为
 

4、答案：D

解析：解：为了使1个感染者新的传染人数不超过1，即，，，，，即.

5、答案：C

解析：设目前大气中二氧化碳的含量为a.由题意，知当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升0.5℃，当二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃……

当大气中二氧化碳的含量为时，地球平均温度上升℃.

令，即，方程两边同时取常用对数，则，所以到2050年，地球平均4温度将上升约(℃).

故选C.

6、答案：D

解析：设该驾驶员经过小时才能驾驶，则，即，

所以．

因为

，

所以，

故选：D

7、答案：B

解析：本题考查指数型函数模型的实际应用.由题意可得故，故，令，则，即，故，故选B.

8、答案：C

解析：本题考查对数函数模型的实际应用.由题意得，.故选C.

9、答案：A

解析：由题意，把，，，代入中得，可得，所以，，因此，.故选：A.

10、答案：C

解析：设n()年后公司全年投入的研发资金为y，则，令，解得：，将，代入后，解得：，故n的最小值为8，即2029年后，该公司全年投入的研发资金开始超过600万元.故选：C.

11、答案：5

解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.

12、答案：3800元

解析：设稿费为x元时，纳税y元，

则由题意得，

即.

由，解得；

由，解得 (舍去).

13、答案：3

解析：当产量为 6 台时，总成本 万元，
则生产者可获得的利润为 ，
解得 ，
故答案为 : 3

14、答案：300

解析：由题意，得，解得，所以，当时，，故到第7年它们发展到300只.

15、答案：4.58

解析：由题意可得，化简可得，，，.

16、答案：(1)

(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.

解析：(1)当时，；

当时，，

所以

(2)若，

当时，万元.

若，，

当且仅当时，即时，万元.

则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.

17、答案：应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少

解析：设派名消防队员前去救火，用t min将火扑灭，总损失为y元，则，

，

当且仅当，即（负值舍去）时，y有最小值，最小值为36450.

所以应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少.

18、答案：(1)，最小值为65.5.

(2).

解析：(1)由题知生产x千件的总成本为千元，故一件的平均成本为元，

当时，单调递减，故最小值为，

当时，，故最小值为，

所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元.

(2)由(1)知，要使只需考虑，即，

整理得，解得，

所以，当时，生产一件A产品的平均成本不超过66元.

19、答案：(1)

(2)老张的销售利润是34万元

解析：(1)由题意得

(2)由，可得，而，可知.

，解得.

老张的销售利润是34万元.