高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.5 函数模型及其应用集体备课ppt课件

课后素养落实(三十七)　形形色色的函数模型

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是(　　)

A． B．　　　

C．－1　　　 D．－1

D　[设月平均增长率为x,1月份的产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1．]

2．有一组实验数据如下表所示：

则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)

A．u＝log2t B．u＝2t－2

C．u＝ D．u＝2t－2

C　[可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．

由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C．]

3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

A　　　　B　　　C　　　　　D

D　[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知ax＝a(1＋0.104)y，即y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象．]

4．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后，若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为(　　)

A．y＝360－1 B．y＝360×1.04x

C．y＝ D．y＝360

D　[设该乡镇现在人口数为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，

1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数为M(1＋1.2%)，

则人均占有粮食产量为千克，2年后，人均占有粮食产量为千克，

……

经过x年后，人均占有粮食产量为

千克，即所求解析式为y＝360.故选D．]

5．(多选题)为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)(　　)

A．2023年 B．2024年

C．2025年 D．2026年

CD　[设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，

则投入的资金为y＝5 000×(1＋20%)n，

由题意可得：y＝5 000×(1＋20%)n>12 800，

即1.2n>2.56，

∴nlg 1.2>lg 2.56＝lg 28－2，

∴n>≈≈5.16，

∵n∈Z，∴n≥6，

即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，故选CD．]

二、填空题

6．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．

乙、甲、丙　[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]

7．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：

现有如下4个模拟函数：

①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；

③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.

请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．

④　[画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.

]

8．已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5 h,1个病毒能繁殖________个．

2ln 2　1 024　[当t＝0.5时，y＝2，

∴2＝e，

∴k＝2ln 2，

∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.]

三、解答题

9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数)．求c，m的值．

[解]　由题意可得

解得故c，m的值分别为128，.

10.为减轻手术给病人带来的痛苦，麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂，某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂，已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位：mg)与时间t(单位：h)成正比，麻醉剂释放完毕后，y与t的函数解析式为y＝(a为常数)，如图所示．

(1)试求从麻醉剂释放开始，血液中的麻醉剂含量y(mg)与时间t(h)之间的解析式；

(2)根据麻醉师的统计，当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125 mg以下时，病人才能清醒过来，那么实施麻醉开始，至少需要经过多长时间，病人才能清醒过来？

[解]　(1)根据题中所述，由题图可知，血液中麻醉剂的含量y(mg)是关于时间t(h)的一个分段函数：

当0≤t≤0.1时，函数的图象是一条经过O(0,0)的线段，设其方程为y＝kt(k为待定系数)，

又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点，代入点A的坐标得k＝10，所以当0≤t≤0.1时，y＝10t.

当t>0.1时，函数解析式为y＝，

而A(0.1,1)在这段函数图象上，代入得1＝，所以有0.1－a＝0，解得a＝0.1．

故当t>0.1时，y＝．

综上，血液中麻醉剂的含量y(mg)与时间t(h)之间的解析式为y＝

(2)要使手术后的病人能清醒过来，需要麻醉剂含量降低到0.125 mg以下，此时t>0.1，且y≤0.125＝.

当t>0.1时，由≤，得t－0.1≥1，

解得t≥1.1．

所以至少需要经过1.1 h后病人才能清醒．

1．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位 mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位 mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)

A． B．

C． D．

C　[∵pH＝－lg[H＋]∈(7.35,7.45)．

且[H＋]·[OH－]＝10－14，

∴lg＝lg＝lg([H＋]2·1014)＝2lg[H＋]＋14，

又∵7.35<－lg[H＋]<7.45，

∴－7.45<lg[H＋]<－7.35，

∴－0.9<2lg[H＋]＋14<－0.7，

即－0.9<lg<－0.7，

∵lg＝－lg 2≈－0.30，∴A不正确；

∵lg＝－lg 3≈－0.48，∴B不正确．

∵lg＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，∴C正确；

∵lg＝－1，∴D不正确．]

2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)

A．125 B．100

C．75 D．50

C　[由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.

设经过t1天后，一个新丸体积变为a，

则a＝a·e，

∴＝(e－k)＝，∴＝，t1＝75.]

3．2018年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)

2 047　[由题意，得14(1＋1.25%)x－2 018>20，即x－2 018>＝≈28.7，

解得x>2 046.7，

又x∈N，故x＝2 047.]

4．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：

注：地震强度是指地震时释放的能量．

地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)

　[由记录的部分数据可知

x＝1.6×1019时，y＝5.0，

x＝3.2×1019时，y＝5.2.

所以5.0＝alg (1.6×1019)＋b，  ①

5.2＝alg (3.2×1019)＋b，  ②

②－①得0.2＝alg ，0.2＝alg 2.

所以a＝≈＝.]

王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升．某城市从2017年到2020年产生的包装垃圾量如表：

(1)有下列函数模型：

①y＝a·bx－2 017；②y＝a(x－2 017)＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)．试从以上函数模型中，选择模型________(填模型序号)，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系，并直接写出所选函数模型的解析式；

(2)若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)

[解]　(1)选择模型①，所选函数模型的解析式为y＝4×.

(2)∵y＝4×，

∴令y>40，得4×>40，

∴>10，

∴x－2 017>log10＝≈5.678 6.

∴x>2 022.678 6，

∴从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨．