高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.5 三角函数模型的简单应用达标测试

5.5 三角函数模型的简单应用    同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式是，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l为(   )

A. B. C. D.

2、(4分)某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n月的从事旅游服务工作的人数可以近似用函数来刻画（其中正整数n表示一年中的月份）.当该地区从事旅游服务工作人数在5500或5500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有(   )

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个

3、(4分)稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市一房地产中介对该市一楼盘在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足：，已知第一、二季度平均单价如下表所示：

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(   )

A.10000元 B.9500元 C.9000元 D.8500元

4、(4分)人的心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则下列说法正确的是(   )

A.此人的收缩压和舒张压均高于相应的标准值

B.此人的收缩压和舒张压均低于相应的标准值

C.此人的收缩压高于标准值，舒张压低于标准值

D.此人的收缩压低于标准值，舒张压高于标准值

5、(4分)已知电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是，则当时，电流强度I为(   )

A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A

6、(4分)某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈（单位：千元，，，）的模型波动，（x为月份，且）.已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为(   )
A. B.

C. D.

7、(4分)如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P在时刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P与水面的距离是（结果精确到0.1米）（    ）

（参考数据 ）

  A．15.9米    B．15.3米 C．9.9米     D．9.3米 

8、(4分)已知函数，若的图象与函数的图象交于两点，则（O为坐标原点）的面积为(  )

A． B． C． D．

9、(4分)如图表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图象,则该函数解析式可以是(   )

A. B.
C. D.

10、(4分)在两个弹簧上各有一个小球做上下自由振动,它们的质量分别为和.已知它们在时间离开平衡位置的位移和分别由和确定,则当时,与的大小关系是(   )
A. B. C. D.不能确定

二、填空题(共25分)

11、(5分)某港口的水深y（米）随着时间t（时）呈现周期性变化，经研究可用来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则的取值范围为_________.

12、(5分)国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：（单位：美元，t为天数，，），现采集到下列信息：最高油价80美元，当时，油价最低，则A的值为__________，的最小值为_______________.

13、(5分)如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y（cm）（假设向上为正）与振动时间x（s）的关系式可以是________________.

14、(5分)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则______________,其中.

15、(5分)某实验室一天的温度(单位:)随时间以(单位:h)的变化近似满足函数关系.要求实验室温度不高于,则实验室需要降温的时间段是__________时到__________时.

三、解答题(共35分)

16、(8分)如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域BAC内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路边上分别建两个仓库M，N，（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求，（单位：km），.

(1)设，将工厂与村庄的距离PA表示为的函数，记为，求出函数的解析式及定义域；

(2)当为何值时，有最大值?并求出该最大值.

17、(9分)如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，缆车每60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面的距离为h m.

（1）求h与之间的函数解析式；

（2）设从OA开始转动，经过t s达到OB，求h与t之间的函数解析式，并计算经过45 s后缆车距离地面的高度.

18、(9分)如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在这两个值之间呈正弦型曲线变化（周期为一年）.

（1）求出该动物种群数量y关于时间t的正弦型函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）；

（2）估计当年3月1日该动物种群的数量.

19、(9分)在一带一路战略引领下，某企业打算从生产基地A，将货物经过公路运输到仓储点D，然后再由列车运输到目的地点C（如图），已知，，，记.

（1）试用表示与；

（2）设从A到D汽车的速度为，从D到C火车的速度为，求由A经D到C所用的最短时间.

参考答案

1、答案：D

解析：因为周期，所以，则.

2、答案：B

解析：令，则，

，解得，

，且，

取，则，共5个月份，本题正确答案为：B.

3、答案：C

解析：因为，
所以当时，；
当时，，
所以可取，可取π，
即.
当时，.

4、答案：C

解析：由此人的血压满足函数式，得此人的收缩压为；舒张压为，所以此人的收缩压高于标准值，舒张压低于标准值.故选C.

5、答案：B

解析：当时，.

6、答案：D

解析：3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元当时,函数有最大值9;当时,函数有最小值5,

函数的最小正周期,由,得.
当时,函数有最大值,,即取,得函数的解析式为.故选D.

7、答案：A

解析：

8、答案：B

解析：由题意有，有，

有，解得，

由可得或，

则点A的坐标为，点B的坐标为．

线段中点的坐标为，则的面积为．

9、答案：C

解析：由题图得,,
,.
又函数图象过点,则，，
取，.

10、答案：C

解析：当时,；
当时，,故.

11、答案：

解析：由题意可知（为辅助角），

由题意可得，故，

由，

解得.

故答案为.

12、答案：20；

解析：由得.

因为当时油价最低，所以，，即，又，所以当时，取得最小值，此时.

13、答案：（答案不唯一）

解析：不妨设（其中，）.由题知，，所以.当时，，且小球开始向上运动，所以，，不妨取，故所求关系式可以为.

14、答案：

解析：设，其中，,,，由题意易知，当时，，可得.当时，，可得，所以.

15、答案：10;18

解析：依题意,当时,实验室需要降温所以,即.又，所以,即.

16、答案：(1)，函数的定义域为

(2)当时，有最大值，最大值为

解析：(1)过点P作，垂足为D，连接PA.

在中，，故，

在中，，，，故，.

在中，，

所以，函数的定义域为.

(2)由(1)可知，，

即

.

又，故，

所以当，即时，取最大值1，

.即当时，有最大值，最大值为.

17、答案：（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则以Ox为始边，OB为终边的角为，

故点B的坐标为，

.

（2）易知点A在圆上转动的角速度是，

故t s转过的弧度数为，

，.

当时，.

即经过45 s后缆车距离地面的高度为5.6 m.

解析：

18、答案：（1）设该动物种群数量y关于t的解析式为，
则

解得，.
又周期，

，
.

又当时，，

，
，

，
可取，

.
（2）当时，，
即当年3月1日该动物种群数量估计是750.

解析：

19、答案：（1）在中，由正弦定理得

，

，，

（2）设

，

令，得

因为，

当时，，函数在上单调递减

当时，，函数在上单调递增

所以当时，所用的最短时间为

解析：