高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.4 函数与方程测试题

4.4  函数与方程 同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分(   )

A.8次 B.9次 C.10次 D.11次

2、(4分)已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

3、(4分)在用二分法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间(   ).

A. B. C. D.不能确定

4、(4分)已知函数定义域为R，，，当时，，则函数在区间上所有零点的和为(   )

A.7 B.6 C.3 D.2

5、(4分)已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的顺序为(   ).

A. B. C. D.

6、(4分)已知函数的零点，则整数m的值为（    ）

A. B.0 C.1 D.2

7、(4分)设，在用二分法求方程在内近似解的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间(   )

A．   B．   C．  D．不能确定

8、(4分)已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是(   )

A. B.

C.  D.

9、(4分)若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（    ）

A.1.2 B.1.4 C.1.3 D.1.5

10、(4分)在用二分法求函数零点的近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是(   )
A. B. C. D.

二、填空题(共25分)

11、(5分)已知函数有一个零点，则实数m的取值范围是__________.

12、(5分)，若有三个零点，则的取值范围为__________.

13、(5分)已知函数函数满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为_________个.

14、(5分)已知函数.若方程在区间有三个不等实根，实数的取值范围为___________.

15、(5分)设函数，若函数有三个零点，，，则等于______________.

三、解答题(共35分)

16、(8分)已知函数的两个零点分别为1和2.

（1）求实数m、n的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

17、(9分)已知函数，若有两个零点，.

（1）求的取值范围；

（2）若，证明：.

18、(9分)已知是偶函数.

（1）求k的值；

（2）若函数的图象与直线有公共点，求a的取值范围.

19、(9分)已知函数.

（1）证明：有且只有一个零点；

（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.

参考答案

1、答案：D

解析：本题考查二分法求方程近似值的过程.设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长为，依题意得，，，所以.

2、答案：D

解析：，

，

所以，，

因此，选D.

3、答案：B

解析：设，，，，在R上连续且单调递增，在区间内，函数存在一个零点，又，，同理可知，在区间内，函数存在一个零点，由此可得方程的根落在区间内，故选B.

4、答案：A

解析：由于函数的定义域为R，，，所以，，则函数是周期为2的周期函数，且该函数的图象关于直线对称.对于函数，，所以，函数的图象关于直线对称.令，可得，则问题转化为函数与函数在区间上所有交点的横坐标之和.作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示：

设函数与函数在区间上所有交点的横坐标由大到小依次为，，，，，，，由图象可得，且，因此，函数在区间上的所有要点的和为.故选：A.

5、答案：B

解析：函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

函数的零点为函数与的图象交点的横坐标.

在同一平面直角坐标系内分别作出函数，，与的图象如图所示：

由图可知，，，，所以.故选B.

6、答案：D

解析：

7、答案：B

解析：方程的解等价于的零点.由于在R上连续且单调递增, ,所以在内有零点且唯一,所以方程的根落在区间,故选B.

8、答案：D

解析：令，函数恰有4个零点，即与的图像恰有4个交点.

当时，，在同一直角坐标系中作出，的图像，如图.

由图可知与的图像恰有4个交点，即函数恰有4个零点，排除A，B；

当时，，作出与的图像，如图所示.

此时，函数与的图像仅有2个交点，不合题意，排除C，故选D.

9、答案：B

解析：

10、答案：D

解析：第一次所取的区间是,第二次所取的区间是或,

第三次所取的区间是,,或.

11、答案：

解析：

12、答案：

解析：作出函数的图象，如图所示，

要使得函数有三个不同的零点，

即函数与图象有三个不同的交点，

，结合图象，可得，即实数的取值范围为.

故答案为：.

13、答案：6

解析：当时，，故，

同理可得当时，，此时，故在无零点，

同理在也无零点.因为，故将，上的图象向右平移个单位后，图象伸长为原来的两倍，在平面直角坐标系，、在上的图象如图所示：因为，，，

故、在上的图象共有5个不同交点，

下证：当，有且只有一个零点.

此时，而，故在上为减函数，

故当，有，当且仅当时等号成立.故、在上的图象共有6个不同交点，即在有6个不同的零点，故填：6.

14、答案：

解析：当时，，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
作出函数在区间上的图象如图：

设直线，要使在区间上有3个不等实根，
即直线与函数的图象在区间上有个交点，
由图象可知或，
所以实数的取值范围是．

故答案为．

15、答案：2

解析：由图（此处令，同理可得）可得关于x的方程的解有两个或三个(时有三个，时有两个)，所以关于t的方程只能有一个根（若有两个根，则关于x的方程有四个或五个根），由，可得，，的值分别为0，1，2，所以.

16、答案：（1）

（2）

解析：（1）由函数的两个零点分别为1和2，可得

解得

（2）由（1）可得，

由不等式在上恒成立，可得不等式在上恒成立，可将化为，

所以在上的最小值为，所以.

17、答案：（1）（2）证明见解析

解析：（1）∵

有两个零点，且，，是方程的两个根

由即有两个实数根，

设，所以所以得，得，

所以在上单调递增，在单调递减，

又趋近于0时，趋近于；趋近于时，趋近于0，且，

所以作出函数的大致图像，如图，

（2）设，，

由已知

，

，即

设，，

设

当时，，，在递增，又，，

18、答案：（1）是偶函数，，，

整理得，即，

，，

即对任意的都成立，

.

（2）由题意知，方程有解，

即有解，有解，

由，得，，

故，即a的取值范围是.

解析：

19、答案：（1）证明：令，则，且，.

，

即在上是增函数，

至多有一个零点.

又，，，即在内有一个零点.

在上只有一个零点.

（2）解：，，取，，

，即零点.

取，则.

.

.又，

满足题意的区间为.

解析：