高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆巩固练习

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3.1.2  椭圆的简单几何性质(精练)【题组一 离心率】1．(2021·四川雅安中学高二期中(理))椭圆的焦点为，是上一点，若，则该椭圆的离心率为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选：D.2．(2021·山东高二期末)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】设内层椭圆方程为,因为内外椭圆离心率相同，外层椭圆可设成 ，设切线A C的方程为, 与联立得：，由, 则, 同理可得,, 则,因此．故选：D.3．(2021·全国高二课时练习)已知为坐标原点，是椭圆：()的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，由题意得、、，设，由得，则①，又由，中点为，得，则②，由①②得，即，则，故选：A.4．(【新东方】高中数学20210429—002【2020】【高二上】)已知椭圆的右焦点分别为，下顶点分别是，点C在椭圆上，且，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】由题意可得，，设，，因为，则，所以可得：，即因为在椭圆上，所以，即，所以离心率，故答案为：5．(2021·北京市八一中学高二期末)若椭圆的一个焦点为F，椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】由可得，即因为椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3所以，解得所以椭圆的离心率为故答案为：6．(2021·湖北高二期中)已知A、B、P是椭圆上的三个不同的点.O为坐标点，，且，则椭圆C的离心率为______.【答案】【解析】因为，点是的重心，设点，，则点.因为，在椭圆上，所以两式相减得，即.又因为，所以，则椭圆的离心率.故答案为：7．(【新东方】在线数学163高二上)已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________．【答案】【解析】设，因为在椭圆上，所以，所以，所以，因为线段的中点坐标为，，所以，，且，所以，所以且，所以，故答案为：.8．(【新东方】【2021.5.25】【NB】【高二上】【高中数学】【NB00087】)椭圆，为椭圆的两个焦点且到直线的距离之和为，则离心率__________．【答案】【解析】为椭圆的两个焦点坐标为，设到直线的距离分别，，两边平方整理可得，由，所以，所以，所以，故答案为：【题组二 点与椭圆的位置关系】1.(2021年广东)已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．　【答案】　∪【解析】　依题意得，＋>1，解得k<－或k>.2(2021年广东).已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．【答案】　9【解析】　依题意得，＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9. 【题组三 直线与椭圆的位置关系】1．(2021·上海市复兴高级中学高二期中)若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，只需，解得：.所以实数的取值范围是故选：C3．(2021·昆明市外国语学校高二月考(文))椭圆上到直线距离最近的点的坐标是(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】解：设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为：，由，化为．(*)，化为，解得．∵直线在椭圆的下方，故直线系中靠近的直线，取，代入可得：，解得．故选：A．3．(2021·全国高二课前预习)直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(    )A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【解析】解析　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.4．(2021·全国高二课前预习)直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】解析　联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，故AB的中点横坐标x0＝＝－.纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.5．(2021·全国高二课时练习)已知椭圆与直线有公共点，则实数 的取值范围是 _______ .【答案】【解析】由，得．因为直线与椭圆有公共点，所以，即，解得．故答案为：．【题组四 弦长】1．(2021·江西高安中学高二期中(理))直线被椭圆截得最长的弦为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】联立直线和椭圆，可得，解得或，则弦长，令，则，当，即，取得最大值，故选：B2．(2021·遵义市新蒲新区北师大附属高级中学有限责任公司高二月考(理))已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为(为坐标原点)，求直线的方程．【答案】(1)，(2).【解析】(1)由题意可得，解得：故椭圆C的标准方程为.(2)由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为联立，整理得,则，故,因为的面积为,所以，设，则整理得，解得或(舍去)，即.故直线的方程为，即.3．(2021·云南省云天化中学高二期中(理))已知椭圆的离心率为，短轴长为2．(1)求椭圆的方程；(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意得，， 所以，，椭圆的方程为． (2)直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得．由题意，，设，则，． 弦长，点到直线的距离，所以的面积， 令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意．4．(专题11圆锥曲线的方程综合练习-(新教材)2020-2021学年高二数学单元复习(人教A版选择性必修第一册))过椭圆的一个焦点作直线交椭圆于、两点，椭圆中心为，当的面积最大时，求直线的方程.【答案】或.【解析】由椭圆的对称性可知过椭圆两个焦点的三角形对称一致，设直线过椭圆右焦点， 当设直线斜率不存在时，设直线的斜率为，方程为且，，联立方程组，整理得，则，，可得，到直线的距离为，所以，当设直线斜率不存在时，可得、或、，所以，综上，当的面积最大时，直线斜率不存在，直线的方程为或.【题组五 中点弦与点差法】1．(2021·安徽省宣城中学高二期中(文))已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是该椭圆上不同于，的一点，若直线的斜率的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】设点，，，则，∴.又∵，∴，故选：B.2．(2021·赣州市赣县第三中学高二期中(理))已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为(  )A． B．C． D．【答案】C【解析】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②由①②及，解得：，即离心率. 故选：C.3．(2021·北京昌平·临川学校高二期末(理))椭圆内有一点过点的弦恰好以为中点，那么这弦所在直线的方程为(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】设弦的两个端点为，有，，作差可得，，所以，解得，又直线过，故直线方程为.故选：B.4．(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试(理))已知为椭圆与直线相交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值为(    )A． B． C． D．2【答案】A【解析】设又在椭圆上,所以，做差得：，即又为的中点，，且所以，即的值为故选：A．5．(2021·山西晋中·(理))已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.【答案】【解析】设过点的直线与椭圆的两个交点分别为，，则，，两式相减得，化简得，即，直线AB的方程为，所以直线AB的一般方程为，故答案为：6．(2021·全国高二课时练习)已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F(0，3)，直线4x+3y﹣13＝0与其相交于MN两点，MN中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是__．【答案】【解析】　设椭圆方程为，依题意，设，，，，可得；，两式作差化简可得：，直线与其相交于、两点，中点的横坐标为1，则，则，，且，解得，，椭圆的标准方程是：．故答案为：7．(2021·玉林市育才中学高二期中(文))已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.【答案】【解析】设，，，，则，，．恰为线段的中点，即有，，，直线的斜率为，直线的方程为，即．由于在椭圆内，故成立．故答案为：．8．(2021·上海市新场中学高二期中)若椭圆的弦被点平分，则弦所在直线的斜率为__.【答案】【解析】设直线与椭圆的两交点坐标为，则，，两式作差可得，因为弦被点平分，所以，，所以即，即，所以直线的斜率为，故答案为：.9．(2021·陕西西北工业大学附属中学)已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为_________；【答案】【解析】由题意可得，整理可得，设，则，两式相减可得，的中点为，，则直线斜率.故答案为：.10．(2021·黔西南州同源中学高二期末(文))已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________．【答案】【解析】设，因为在椭圆上，所以，所以，所以，因为线段的中点坐标为，，所以，，且，所以，所以且，所以，故答案为：.11．(2021·安徽省宣城中学(文))椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为__________．【答案】【解析】设弦的两个端点、，则，则，所以，所以，由点斜式可得直线的方程为，即.故答案为：12．(2021·宁夏吴忠中学高二月考(理))椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为_______.【答案】【解析】设过点的直线与椭圆交于两点，斜率为，则①，②，－②得，又，所以故答案为：．13．(2021·北京海淀·中关村中学高二期末)已知椭圆过点，且离心率为．过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)设为的中点，当直线的斜率为1时，求中点的坐标；(3)当的面积为时，求直线的方程．【答案】(1)；(2)；(3)或．【解析】(1)因为点在椭圆上，所以，因为椭圆的离心率为，所以，即，解得，所以所以椭圆的方程为．(2)当直线的斜率为1时，直线的方程为．由得，设．则，所以，代入直线得．所以中点的坐标为．(3)依题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为．由得，所以，则(，原点到直线的距离)所以，解得或，符合所以或．【题组六 最值】1．(2021·广西高二期末(理))已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】设椭圆的左焦点为，在椭圆中，，，则，由题意可知，点、关于原点对称，且为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，，由椭圆的定义可得，，，即，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.2．(2021·安徽(理))已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得(点为坐标原点)为正三角形，则椭圆的焦距为(   )A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨设为椭圆的右焦点，为椭圆的左焦点，连接因为为等边三角形，所以，所以是直角三角形，所以．因为，所以．因为的最小值为，所以，所以，椭圆的焦距为故选：D3．(2021·江苏省南通中学高二期末)已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，延长与交于点，则是的角平分线，由可得与垂直，可得为等腰三角形，故为的中点，由于为的中点，则为的中位线，故，由于，所以，所以，问题转化为求的最值，而的最小值为，的最大值为，即的值域为，故当或时，取得最大值为，当时，在轴上，此时与重合，取得最小值为0，又由题意，最值取不到，所以的取值范围是，故选：A.4．(2021·黄梅国际育才高级中学高二月考)已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，解得b，故选D．5．(2021·江门市第二中学高二月考)设椭圆的一个焦点为，则对于椭圆上两动点，，周长的最大值为(    )A． B．6 C． D．8【答案】D【解析】设为椭圆的另外一个焦点则由椭圆的定义可得当三点共线时，当三点不共线时，所以当三点共线时，的周长取得最大值8故选：D6．(2021·横峰中学高二月考(文))已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为，则面积的最大值为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由椭圆的定义可得的周长为，，则，则面积的最大值为，故选：B.7．(2021·上海闵行中学高二期末)P、Q是椭圆C：的动点，则的最大值为__________.【答案】4【解析】由于椭圆中长轴是最长的弦，所以，故答案为：4.8．(2021·云南高二期末(文))已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为6，则的值是____________，椭圆的离心率为____________．【答案】        【解析】由题意得；由椭圆的定义知，所以，又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，所以，解得，故，，离心率．故答案为：；