人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线课时训练

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3.2.1 双曲线及其标准方程(精练)【题组一 双曲线的定义及运用】1．(2021·江苏苏州中学)双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为(    )A．2或12 B．2或18 C．18 D．2【答案】C【解析】由双曲线定义可知：解得或(舍)∴点到的距离为18，故选：C.2．(2021·安徽省岳西县店前中学高二期末(文))设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为(    )A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由题意，双曲线，可得，则，因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限，由双曲线的定义可得，又因为，可得，即，又由，可得，解得，所以的面积为.故选：C.3．(2021·永昌县第一高级中学高二期中(文))是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为(    )A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】  则 故双曲线的两个焦点为,,也分别是两个圆的圆心,半径分别为, 则的最大值为 故选：D4．(2021·永昌县第一高级中学高二期中(理))设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左.右焦点，若，则等于(    )A．2 B．2或18 C．18 D．16【答案】C【解析】根据双曲线方程可得：，渐近线方程变形为，所以，可得：，，所以双曲线方程为，因为是双曲线左支上一点，根据双曲线的定义得：，且，所以故选：C5．(2021·浙江温州·高二期末)设为双曲线：上的点，，分别是双曲线的左，右焦点，，则的面积为(    )A． B． C．30 D．15【答案】D【解析】由，得，则，所以，设，，则，所以，由余弦定理得，因为，所以，所以，得，所以，得，所以，所以，所以的面积为，故选：D6．(多选)(2021·广东阳江·高二期末)关于，的方程(其中)表示的曲线可能是(    )A．焦点在轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆【答案】BC【解析】对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，无解，选项A错误；对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则，解得，选项B正确；对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，所以或，选项C正确；对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，则，，则或，无解，选项D错误.故选：BC.7．(2021·全国高二专题练习)若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．【答案】18【解析】由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，∴|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13．△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18．故答案为：18.8．(2021·全国高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5，0)和C(5，0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为________．【答案】【解析】由题意得a＝4，b＝3，c＝5.A、C为双曲线的焦点，∴||BC|－|BA||＝8，|AC|＝10.由正弦定理得.故答案为：9．(2021·全国高二专题练习)已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左､右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=________.【答案】【解析】双曲线C：x2-y2=2，即，其实半轴长，半焦距c有，由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2a=，而|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=，|PF2|=，而|F1F2|=4，则cos∠F1PF2==.故答案为：10．(2021·全国高二课时练习)设、为双曲线的两焦点，P为双曲线上的一点，且，则的面积为______【答案】【解析】由题意可得双曲线，，，，得，，，，又，，由余弦定理可得：，的面积，故答案为：．【题组二 求曲线的轨迹方程】1．(2021·全国高二课时练习)已知的顶点，，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.【答案】.【解析】设内切圆与边相切于点，与边相切于点，与边相切于点，则易知，∴点的轨迹是双曲线的右支(除去与轴的交点)，且，，∴，，，∴顶点的轨迹方程是.2．(2021·全国高二课时练习)若一个动点到两个定点，的距离之差的绝对值为定值，求动点的轨迹方程.【答案】答案见解析.【解析】由题意得.①当时，动点的轨迹是线段的垂直平分线，方程为；②当时，由双曲线的定义，可知动点的轨迹是以，为焦点为的双曲线，其中，，，故动点的轨迹方程为；③当时，动点的轨迹为两条射线，其方程为与.3．(2021·上海市新场中学高二期中)已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.【答案】【解析】设点的坐标为因为所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线且所以所以点的轨迹方程为：故答案为：【题组三 双曲线的标准方程】1．(2021·全国高二课时练习)已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．【答案】x2－＝1【解析】由题意得解得则该双曲线的方程为x2－＝1.故答案为：x2－＝12．(2021·全国高二课时练习)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．【答案】【解析】设双曲线方程为，将点(4，－2)和 代入方程得解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为.故答案为：3．(2021·全国高二课时练习)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．【答案】－y2＝1【解析】由题意得⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故双曲线的方程为－y2＝1.故答案为：－y2＝1.4．(2021·全国高二课时练习)以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．【答案】－＝1【解析】由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1.故答案：　－＝1.5．(2021·宁夏吴忠中学高二期中(理))与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.【答案】【解析】由椭圆方程可知，焦点坐标是，设双曲线方程是，所以，解得：，，所以双曲线方程是.故答案为：6．(2021·全国高二课时练习)与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．【答案】【解析】设双曲线的标准方程为，双曲线过点，，解得或-14(舍去)，双曲线的标准方程为．故答案为：