初中数学14.1.2 幂的乘方优秀一课一练

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专训14.1.4.2 多项式乘法不含某一项+面积问题+规律
一、单选题
1．已知（x﹣3）（x2﹣mx+n）的乘积中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝3，n＝9 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣3，n＝﹣9 D．m＝﹣3，n＝9
【答案】D
【分析】
先根据多项式的乘法法则计算，合并同类项后根据乘积项中不含x2和x项可得这两项的系数为0，进一步即可求出答案．
【详解】
解：原式＝
∵乘积项中不含x2和x项，
∴
解得：m＝-3，n＝9．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了多项式的乘法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键．
2．若（3x+2）（3x+a）的化简结果中不含x的一次项，则常数a的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】
先用多项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项，不含x的一次项，就让x的一次项的系数等于0．
【详解】
解：（3x+2）（3x+a）
＝9x2+3ax+6x+2a
＝9x2+（3a+6）x+2a，
∵不含x的一次项，
∴3a+6＝0，
∴a＝﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘积中不含某一项，就是该项的系数等于0是解题的关键．
3．如图，现有足够多的型号为①②③的正方形和长方形卡片，如果分别选取这三种型号卡片若干张，可以拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，小星想用拼图前后面积之间的关系．解释多项式乘法，则其中②和③型号卡片需要的张数各是（ ）

A．3张和7张 B．2张和3张 C．5张和7张 D．2张和7张
【答案】D
【分析】
分别求出②型号卡片的面积为，③型号卡片的面积为，再观察多项式即可得解；
【详解】
②型号卡片的面积为，③型号卡片的面积为，
∵，
∴需要②型号卡片2张，③型号卡片7张；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，准确计算是解题的关键．
4．如图，观察表1，寻找规律，表1、表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中m为整数且，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
从图表中找出规律，并根据规律计算求解．
【详解】
解：由表1可知，第x行，第y列的数为xy，（x，y均为正整数），
由表2可知，第一列数依次为12=3×4,15=3×5，则a在第3行第6列，即a=3×6=18，
由表3可知，在第m行第m列，则上一行的数b在第（m-1）行第m列，所以，
由表4可知，设18在第x行第y列，则18=xy，35在第（x+2）行第（y+1）列，则，x，y均为整数，则x=3，y=6，c在第（x+1）行，第（y+1）列，，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查探索与表达规律．规律就在表一中，所以学生平时要锻炼自己的总结能力，及逻辑能力．
二、填空题
5．若中不含的一次项，则_______．
【答案】
【分析】
利用多项式乘多项式的法则展开，然后根据题意列等式关系求解即可．
【详解】
解：
由题意可得，解得
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．
6．已知（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2项和x3项，则p+q的值＝___．
【答案】4
【分析】
根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据不含x2项和x3项就是这两项的系数等于0列式，求出p和q的值，从而得出p+q．
【详解】
解：，

，
∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2项和x3项，
∴，
解得：，
所以p+q＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘以多项式的计算法则．
7．已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积展开式中不含x2和x项，则m﹣n的值为______．
【答案】-2
【分析】
直接根据多项式乘多项式法则进行计算，由不含某一项就是说这一项的系数为0，得出m，n的值，即可得出答案．
【详解】
解：∵原式＝x3＋（m−2）x2＋（n−2m）x−2n，
∵乘积展开式中不含x2和x项，
∴m−2＝0，n−2m＝0，
解得m＝2，n＝4，
∴m−n＝2−4＝−2．
故答案为−2．
【点睛】
此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
8．要使（﹣6x3）（x2+ax+5）+3x4的结果中不含x4项，则a的值为_______
【答案】
【分析】
根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得多项式，根据四次项的系数为零，可得答案．
【详解】
解：原式=
=，
∵（﹣6x3）（x2+ax+5）+3x4的结果中不含x4项，得，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
9．，两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材，面积分别为，．小明和小刚对这两块板材的面积进行了讨论：小明说，估计它们的面积相等；小刚说，我们可以作差比较一下．则：

（1）______．
（2）______（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】-3 ＜
【分析】
（1）由题意及图形可得，，进而作差即可求解问题；
（2）根据（1）中的结论即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
，，
∴；
故答案为-3；
（2）由（1）可得：，
∴；
故答案为＜．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式及整式的大小比较，熟练掌握多项式乘多项式及整式的大小比较是解题的关键．
10．观察各式：(x-1)(x＋1)＝x2-1，(x-1)(x2＋x＋1)＝x3-1，(x-1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4-1，…，根据规律可计算出(349＋348＋…＋32＋3＋1)＝_______．
【答案】（或或或）
【分析】
观察式子可得出规律（x−1）（xn−1+xn−2+xn−3…+x+1）=xn−1，然后根据规律直接写出即可
【详解】
解：∵ (x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1.
…
∴（x−1）（xn−1+xn−2+xn−3…+x+1）=xn−1
∴(x－1)(x49＋x48＋…＋x＋1)=x50−1
当 x=3时(349＋348＋…＋32＋3＋1)＝（350-1）÷（3-1）=
故答案为（或或或）
【点睛】
本题考查探索规律，利用规律求值，观察式子找出规律是解题的关键，是中考的易考点.
11．计算：________；________；
________；________；
……
猜想：________．
【答案】计算：，，，，猜想：．
【分析】
先利用多项式乘以多项式的计算法则求出；；；；由此可以推测．
【详解】
解：；
；
；
；
由此可以猜测．
故答案为：；；；；．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式以及数字规律问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．
12．观察下列算式，尝试问题解决：
杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示(a+b)n(此处n=0，1，2，3，4，5．．)的计算结果中的各项系数：

请根据上题中的杨辉三角系数集，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：各项系数之和1+1=2=，各项系数之和1+2+1=4=，各项系数之和1+3+3+1=8=
①请补全下面展开式的系数：
（a-b）6=a6+____a5b+____a4b2+____a3b3+15a2b4-6ab5+b6；
②请写出各项系数之和：___．
【答案】（-6） 15 （-20） 210
【分析】
①根据“杨辉三角形”中系数规律确定出所求展开式即可；
②根据规律确定（a+b）10各项系数之和．
【详解】
解：①（a-b）6=a6+（-6）a5b+15a4b2+（-20）a3b3+15a2b4-6ab5+b6，
故答案为：（-6），15，（-20）；
②∵（a+b）1=a+b各项系数之和1+1=2=21，
（a+b）2=a2+2ab+b2各项系数之和1+2+1=4=22，
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3各项系数之和1+3+3+1=8=23，
…
（a+b）10各项系数之和：210；
故答案为：210．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，弄清“杨辉三角形”中系数规律是解本题的关键．
13．我们知道展开后等于，我们可以利用多项式乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢﹖我们不妨找找规律!如果将（为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
计算
结果的项数
各项系数

1
1

2
1 1

3
1 2 1

4
1 3 3 1
上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．
请你利用“杨辉三角”求出下式的计算结果：
_____________．
【答案】
【分析】
根据待求的代数式有五项，则根据题干的规律推导结果的项数为五项的，再应用这个规律即可．
【详解】
解：根据题干中规律可以推导出．
所以原式．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了多项式的乘法，正确找出数字规律是解题关键．
三、解答题
14．已知的展开式中，不含有的一次项，求的值．
【答案】．
【分析】
先根据多项式乘多项式展开，结合题意得到关于k的方程，即可求解．
【详解】
解：
∵的展开式中不含有的一次项，
∴2+k=0，
∴．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘法法则，是解题的关键．
15．若（x＋1）（x2－ax＋b）的积中不含x的二次项和一次项，则a，b的值分别是多少？
【答案】a=1，b=1
【分析】
先将原式展开，然后将二次项与一次项分别进行合并，最后令其系数为0即可求出a与b的值．
【详解】
解：
=
=
∵积中不含x的二次项和一次项，
∴1-a=0，b-a=0，
∴a=1，b=1．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
16．已知关于x的多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的积不含x的一次项，且常数项为﹣4，求ab的值．
【答案】1
【分析】
利用多项式与多项式相乘的法则计算，再根据展开式中不含x的一次项，且常数项为−4，可得方程组 ，解方程组求得a，b，再代入计算求解即可．
【详解】
解：∵（ax−b）（2x2−x＋2）＝2ax3＋（−2b−a）x2＋（2a＋b）x−2b，
又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为−4，
∴，解得：，
∴ab＝（−1）2＝1．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式、单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．
17．如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形空地上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草．
（1）当a＝20，b＝10时，求种植花草和小路的面积；
（2）用含有a、b的式子表示小路的面积．

【答案】（1）种植花草的面积为171平方米，小路的面积为29平方米；（2）
【分析】
（1）根据平移的性质可得此小路相当于一条横向长为a米，纵向长为b米的小路，种植花草的面积即为长为(a-1)米，宽为(b-1)米的长方形面积，然后把a＝20，b＝10代入求解即可；
（2）由（1）可直接进行求解．
【详解】
解：（1）根据平移的性质可得小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，
∴种植花草的面积为，
∵a＝20，b＝10，
∴种植花草的面积为（平方米），
小路的面积为（平方米）；
答：种植花草的面积为171平方米，小路的面积为29平方米．
（2）由（1）得：小路面积=长方形面积-种植花草的面积，
∴小路的面积为（平方米）．
【点睛】
本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
18．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“”型的图形（阴影部分）．
（1）用含，的代数式表示“”型图形的面积并化简；
（2）若米，“”型区域铺上价格为每平方米元的草坪，请计算草坪的造价．

【答案】（1）；（2）草坪造价为8500元
【分析】
（1）根据图形可用割补法进行求解；
（2）由（1）及把代入进行求解面积，然后再根据草坪的造价=“T”型区域的面积×单价，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
“”型图形的面积为；
（2）∵，
∴，
∴“”型图形的面积为（平方米），
∴造价为（元）．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键．
19．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m 为正整数），其面积分别为 S1，S2．

（1）填空：S1－S2＝ （用含 m 的代数式表示）；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．
①设该正方形的边长为 x，求 x 的值（用含 m 的代数式表示）；
②设该正方形的面积为 S3，试探究：S3 与 2（S1＋S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由，
【答案】（1）2m-1； （2）①x的值为 2m＋7；②S3与 2（S1＋S2）的差是常数19．
【分析】
（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）①根据正方形和矩形的周长公式计算即可；
②根据正方形的面积计算即可；
【详解】
解：（1）S1－S2＝（m＋7）（m＋1）－（m＋4）（m＋2）＝2m-1．故答案为 2m-1．
（2）①根据题意，得
4x＝2（m＋7＋m＋1）＋2（m＋4＋m＋2）
解得x＝2m＋7．
答；x的值为 2m＋7．
②∵S1＋S2＝2m2＋14m＋15，
S3－2（S1＋S2）＝（2m＋7）2－2（2m2＋14m＋15）
＝4m2＋28m＋49－4m2－28m－30＝19．
答：S3与 2（S1＋S2）的差是常数：19．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式、整式的加减，掌握长方形、正方形的面积公式和多项式乘以多项式法则是解决本题的关键．
20．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
（1）请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积．
（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？
（3）若铁盒的全面积是底面积的倍，求此时的值（用含的代数式表示）．是否存在一个整数，使得铁盒的全面积是底面积的整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）12a2＋420a＋3600；（2）600a＋21000；（3）35或7或5或1
【分析】
（1）根据图形表示出原长方形铁皮的长和宽，进而表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．
【详解】
解：（1）原铁皮的面积是（4a＋60）（3a＋60）＝12a2＋420a＋3600，
（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2＋2×30×4a＋2×30×3a＝12a2＋420a，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2＋420a）÷＝（12a2＋420a）×＝600a＋21000（元），
答：涂完这个铁盒需要(600a＋21000)元；
（3）铁盒的全面积是4a×3a＋4a×30×2＋3a×30×2＝12a2＋420a，
底面积是4a×3a＝12a2，
假设存在正整数，使12a2＋420a＝n·12a2
整理得（n－1）a＝35，
则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或5或1．
【点睛】
此题考查整式的混合运算，正确掌握无盖铁盒的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．
21．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．
　　　　　　
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式；
　　　 　　　
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2；
（拓展应用）
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：　 ．
【答案】（1）图（1）：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2，图（3）：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2；（2）作图见解析；拓展应用：作图见解析，几何建模步骤见解析；归纳提炼：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果
【分析】
（1）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案；
（2）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案；
拓展应用：根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案；
归纳提炼：根据拓展运用的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】
（1）根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，
图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2；
（2）根据题意，几何图形如图所示：
；
拓展应用：
示意图如下：

用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
归纳提炼：
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．
【点睛】
本题考查了代数式、图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、图形和数字规律的性质，从而完成求解．
22．（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）；
（2）计算：（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）；
（3）根据以上等式进行猜想，当n是偶数时，可得：（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣xn﹣1…x3+x2﹣x+1）＝　 　．
【答案】（1）x3+1；（2）x5+1；（3）xn+1+1
【分析】
（1）根据多项式乘以多项式法则求出即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则求出即可；
（3）根据（1）（2）中的结果得出规律，再得出答案即可．
【详解】
解：（1）（x+1）（x2﹣x+1）
＝x3﹣x2+x+x2﹣x+1
＝x3+1；
（2）（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）
＝x5﹣x4+x3﹣x2+x+x4﹣x3+x2﹣x+1
＝x5+1；
（3）根据以上等式进行猜想，当n是偶数时，可得：（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣xn﹣1…x3+x2﹣x+1）＝xn+1+1，
故答案为：xn+1+1．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关进在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝　 　（n为大于3的正整数），并证明你的结论；
（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝　 　．
【答案】（1）x4−1；（2）xn＋1−1，理由见详解；（3）；（4）
【分析】
（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解；
（2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可；
（3）利用得出的规律计算得到结果；
（4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解．
【详解】
解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
故答案是： x4−1；
（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，
理由如下：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1+ xn+xn﹣1+……+x-（xn+xn﹣1+……+x+1）
= xn＋1−1，
故答案是：xn＋1−1；
（3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）
=﹣32100×4÷8÷380
=-
=；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3
=2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3
=2×（32018+32016+32014+……+32）+3
=2×（91009+91008+91007+……+9+1-1）+3
=2×+3
=2×
=，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，是解题的关键．
24．观察下列各式：

（1）根据以上的规律得：（为正整数）
（2） 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
①
②（﹣2）50＋（﹣2）49＋（﹣2）48＋…＋（﹣2）＋1
【答案】（1）xm-1；（2）①；②
【分析】
（1）归纳出一般规律可得；
（2）①原式乘（2-1），用规律即可得出结论；
②将原式变形为，再依照所得规律计算即可．
【详解】
解：（1）（x-1）（xm-1+xm-2+…+x+1）═xm-1（m为正整数）；
（2）①
=
=；
②
=
=
=
【点睛】
本题考查找规律解题，仔细观察，找出规律是求解本题的关键．
25．在我们的生活中，很多看似繁杂的事情，其中总是隐藏着某种规律，若能找到其中的规律，就能化繁为简，巧妙解决：
（Ⅰ）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．

……
（i）根据上面的规律，展开______．
（ii）计算：
（Ⅱ）构成运算的元素有若干个相同时，将这些相同的元素归到一起看成一个整体，此时一般引入参数（表示数字的字母），化繁为简，往往可以取到事半功倍的效果．请认真观察以下算式的结构、特征，完成解答：若，，比较M与N的大小．
【答案】（1）a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；（2）-1；（3）M＜N
【分析】
（1）根据“杨辉三角”给出的系数规律直接写出展开式即可；
（2）根据式子规律把原式改写成的形式计算即可；
（3）设，则，，用作差法比较M，N的大小即可．
【详解】
解：（1）a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5，
故答案是：a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；
（2）
=
=
=
=-1；
（3）设，则，，
∴M-N=-=-2＜0，
∴M＜N．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律以及用字母表示数，理解“杨辉三角”中数字的变化规律是解题的关键．
26．你能求（x﹣1）（x2018+x2017+x2016+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2018+x2017+x2016+…+x+1）＝　 　；
（2）请你利用上面的结论，完成下面的计算：
①22018+22017+22016+…+2+1；
②（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）+1．
【答案】（1）x2019﹣1；（2）①22019﹣1；②
【分析】
（1）每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1；根据规律直接写出答案；
（2）①规律用字母表示为：（x﹣1）（xn+xn﹣1+...+x+1）＝xn+1﹣1，当x＝2，n＝2018时，即可求出答案；
②当x＝﹣2，n＝2018时，代入规律公式中，即可求得答案．
【详解】
（1）根据规律，原式＝x2019﹣1，
故答案为：x2019﹣1；
（2）①规律用字母表示为：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1，
当x＝2，n＝2018时，
（2﹣1）（22018+22017+22016+.…+2+1）＝22019﹣1，
∴22018+22017+22016+…+2+1＝22019﹣1；
②当x＝﹣2，n＝2018时，
（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）+1]＝（﹣2）2019﹣1，
∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）+1＝＝．
【点睛】
本题是多项式乘法中的规律性问题，它考查了多项式的乘法，体现了由特殊到一般得出规律，再由一般到特殊运用规律解决问题，解题的关键是发现规律．
27．1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书﹣﹣《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，如图1，这个数字三角形原名“开方作法本源图”，是1050～100年间北宋人贾宪做的．后来，我们就把这种数字三角形叫做贾宪三角或杨辉三角，杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表，如图2所示．

（1）写出杨辉三角中的你所发现的规律（1条即可）；
（2）写出（a+b）7展开式中的各项系数；
（3）已知（x﹣1）6＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+1，求a+b+c+d+e+f的值．
【答案】（1）第m行有m个数字（答案不唯一）；（2）1，7，21，35，35，21，7，1；（3）﹣1．
【分析】
（1）观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，第m行有m个数字；
（2）由题意可求得当n＝0，1，2，3，4，…时，多项式(a+b)n的展开式是一个n次（n+1）项式，并由（1）中的规律即可求得答案；
（3）利用特殊值x=1代入可得结论．
【详解】
解：（1）由图表可得：第m行有m个数字（答案不唯一）；
（2）(a+b)7展开式中的各项系数为：1，7，21，35，35，21，7，1；
（3）当x=1时，(1﹣1)6=a+b+c+d+e+f+1=0，
∴a+b+c+d+e+f=﹣1；
【点睛】
本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．
28．观察下列等式：
第1个等式：12＝13；
第2个等式：（1+2）2＝13+23；
第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33；
第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出第n（n为正整数）个等式：　 　（用含n的等式表示）；
（3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值．
【答案】（1）；（2）；（3）25499475．
【分析】
（1）根据题干即可直接写出第5个等式．
（2）利用前几个等式可总结出规律：从1开始连续几个整数的和的平方等于这些数的立方的和”即可写出第n（n为正整数）个等式．
（3）根据，结合（2）总结的规律，可得：，即可求出结果．
【详解】
（1）根据题干可知第5个等式为：．
（2）根据前面等式即可总结出规律，第n（n为正整数）个等式为：
（3） ，


．
【点睛】
本题考查多项式乘法中的规律性问题．根据题干总结出等式的规律是解答本题的关键．
29．阅读思考：我们知道：
；
；
；
．
观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得的结果就是这两个两位数相乘的积．
解决问题：
（1）请用观察到的规律直接写出：
①；
②；
（2）十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为．如果，上述规律可表示为，请说明这个等式成立的合理性；
（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果，请仿照（2）写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．
【答案】（1）①，②；（2）合理性见解析；（3），合理性见解析．
【分析】
（1）根据观察到的规律直接计算可得；
（2）通过多项式相乘的运算直接计算可得；
（3）直接通过计算出的结果即可得出．
【详解】
解：（1）①，
②．
（2）

，
，
．
（3）仿照写出其规律等式为：，
理由如下：

，

．
【点睛】
本题考查了多项式乘法的应用，解题的关键是：通过阅读材料，掌握材料中所给的规律，利用规律来解答．
30．（1）探究发现：
小明计算下面几个题目
①；②；③；④
后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：
（2）面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式．

（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：.
【答案】（1）x，，pq；（2）如图见解析；（3）
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论
（2）通过总结（1）的计算结果：在结合图形的面积，即可已得到答案．
（3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案．
【详解】
（1），
，
，
，
总结规律为：
（2）根据（1）中总结的规律：
结合图形的面积可知：为长方形的面积，
则为长方形的宽，为长方形的长，
所以答案如图：

（3）按照小明发现的规律：


【点睛】
本题主要考查了多项式乘法中最基本的两个一次系数为1的一次二项式的乘法，通过运算能总结出规律是解题关键．
31．好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？
根据尝试和总结她发现：一次项就是：x×5×（﹣6）+2x×4×（﹣6）+3x×4×5＝﹣3x．
请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为　 　，一次项为　 　；
（2）若计算（x+1）（﹣3x+m）（2x﹣1）（m为常数）所得的多项式不含一次项，求m的值；
（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝　 　．
【答案】（1）15x3，﹣11x；（2）m＝－3；（3）2021
【分析】
（1）求多项式的最高次项，把每个因式的多项式最高次项相乘即可；求一次项，含有一次项的有x，3x，5x，这三个中依次选出其中一个再与另外两项中的常数相乘最终积相加，或者展开所有的式子得出一次项即可．
（2）先根据（1）所求方法求出一次项系数，最后用m表示，列出等式，求出m；
（3）根据前两问的规律可以计算出第（3）问的值．
【详解】
（1）由题意得：
（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为x×3x×5x＝15x3，
一次项为：1×1×（﹣3）x+2×3×（﹣3）x+2×1×5x＝﹣11x，
故答案为：15x3，﹣11x；
（2）依题意有：1×m×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×m×2＝0，
解得m＝﹣3；
（3）根据题意可知即为所得多项式的一次项系数，
∵展开之后x的一次项共有2021个，且每一项的系数都为，
∴
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．
32．小张和小李玩猜数游戏，小张说：“你随便选三个一位数按这样的步骤去运算，①把第一个数乘5；②再加上10；③把所得结果乘以2；④加上第二个数；⑤把所得结果乘以10；⑥加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的三个一位数．”小李按照以上步骤试了几次，过程如下：

小李选定了1，2，3
小张选定了5，6，7
①


②


③


④


⑤


⑥


小张介绍了他的计算奥秘：将最后的得数减去200，所得的结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数．
探究一：证明小张想法的正确性

小李选定了，，
①

②

③

④

⑤

⑥

小张将最后的得数减去200：
，
所以结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数．小李听完后深受启发也设计了自己的运算程序，让小张随便选三个一位数按这样的步骤去运算：
①把第一个数乘5，再加上5；
②把第二个数乘20，再加上2；
③将①的运算结果与②的运算结果相乘，再加上第三个数；
④减去第一个数与第二个数乘积的100倍．
小李说：“只要小张告诉我最后的得数，我就能知道小张一开始所想的三个一位数。”
小李是如何知道的呢？请你模仿探究一的证明过程填写下表：
探究二：证明小李想法的正确性

设小张选定的三个数为，，
①

②

③

④

请介绍小李的计算奥秘，描述：你是怎样由最后的得数，识别出最初选定的三个一位数的？
【答案】，，，；将最后的得数减去10，所得百位数就是第二个数，十位数是第一个数，个位数是第三个数，证明见解析．
【分析】
根据题意即可写出对应的代数式，计算即可求解；根据最终得到的代数式的特点即可求解．
【详解】
设小张选定的三个数为，，
①把第一个数乘5，再加上5，即为；
②把第二个数乘20，再加上2，即为；
③将①的运算结果与②的运算结果相乘，再加上第三个数，即（）（）+=
100xy+10x+100y+z=；
④减去第一个数与第二个数乘积的100倍，即为-100xy=．
故填表如下：

设小张选定的三个数为，，
①

②

③

④

小李的计算奥秘：将最后的得数减去10，即-10=
∴所得百位数就是第二个数，十位数是第一个数，个位数是第三个数．
【点睛】
此题主要考查列代数式，整式的加减、乘法运算，解题的根据是根据题意写出代数式，再进行相应的求解．
33．问题提出：在同底数幂的运算中，常常会遇到求个数的和的情况，这个数的和可以表示为．那么怎样求的值呢？
问题探究：为了解决这个问题我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：①
②
①-②得
③
④
③-④得

⑤
⑥
⑤-⑥得

由以上规律可知 ；
．
探究二：⑦
⑧
⑦-⑧得

⑨
⑩
⑨-⑩



请根据前面推导过程推导，并写出推导过程．
问题解决：请求，写出求解过程．
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）类比探究一中的推导方法即可求解；
（2）类比探究二的推导方法进行推导求解即可
【详解】
解：（1）设S=①，
2S=②，
①﹣②得(1﹣2)S=，
∴S=
即，
∴，
故答案为：，；
（2）由题意，③，
2④，
③﹣④得：

=
=
=
=
=，
∴；
⑤，
⑥
⑤﹣⑥得：

=
=
=
=
=，
∴．
【点睛】
本题考查了与实数有关的规律探究、与多项式乘法有关的规律探究、有理数的乘方运算，运用类比的方法推导变化规律是解答的关键．