初中数学人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法巩固练习

专训14.1.4.2 多项式乘法不含某一项+面积问题+规律

一、单选题。

1．已知（x﹣3）（x2﹣mx+n）的乘积中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（　　）

A．m＝3，n＝9 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣3，n＝﹣9 D．m＝﹣3，n＝9

2．若（3x+2）（3x+a）的化简结果中不含x的一次项，则常数a的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2

3．如图，现有足够多的型号为①②③的正方形和长方形卡片，如果分别选取这三种型号卡片若干张，可以拼成一个不重叠、无缝隙的长方形，小星想用拼图前后面积之间的关系．解释多项式乘法，则其中②和③型号卡片需要的张数各是（ ）

A．3张和7张 B．2张和3张 C．5张和7张 D．2张和7张

4．如图，观察表1，寻找规律，表1、表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中m为整数且，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

5．若中不含的一次项，则_______．

6．已知（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2项和x3项，则p+q的值＝___．

7．已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积展开式中不含x2和x项，则m﹣n的值为______．

8．要使（﹣6x3）（x2+ax+5）+3x4的结果中不含x4项，则a的值为_______

9．，两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材，面积分别为，．小明和小刚对这两块板材的面积进行了讨论：小明说，估计它们的面积相等；小刚说，我们可以作差比较一下．则：

（1）______．

（2）______（填“＞”“＜”或“＝”）

10．观察各式：(x-1)(x＋1)＝x2-1，(x-1)(x2＋x＋1)＝x3-1，(x-1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4-1，…，根据规律可计算出(349＋348＋…＋32＋3＋1)＝_______．

11．计算：________；________；

________；________；

……

猜想：________．

12．观察下列算式，尝试问题解决：

杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示(a+b)n(此处n=0，1，2，3，4，5．．)的计算结果中的各项系数：

请根据上题中的杨辉三角系数集，仔细观察下列各式中系数的规律，并填空：各项系数之和1+1=2=，各项系数之和1+2+1=4=，各项系数之和1+3+3+1=8=

①请补全下面展开式的系数：

（a-b）6=a6+____a5b+____a4b2+____a3b3+15a2b4-6ab5+b6；

②请写出各项系数之和：___．

13．我们知道展开后等于，我们可以利用多项式乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢﹖我们不妨找找规律!如果将（为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：

上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．

请你利用“杨辉三角”求出下式的计算结果：

_____________．

三、解答题

14．已知的展开式中，不含有的一次项，求的值．

15．若（x＋1）（x2－ax＋b）的积中不含x的二次项和一次项，则a，b的值分别是多少？

16．已知关于x的多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的积不含x的一次项，且常数项为﹣4，求ab的值．

17．如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形空地上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草．

（1）当a＝20，b＝10时，求种植花草和小路的面积；

（2）用含有a、b的式子表示小路的面积．

18．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“”型的图形（阴影部分）．

（1）用含，的代数式表示“”型图形的面积并化简；

（2）若米，“”型区域铺上价格为每平方米元的草坪，请计算草坪的造价．

19．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m 为正整数），其面积分别为 S1，S2．

（1）填空：S1－S2＝      （用含 m 的代数式表示）；

（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．

①设该正方形的边长为 x，求 x 的值（用含 m 的代数式表示）；

②设该正方形的面积为 S3，试探究：S3 与 2（S1＋S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由，

20．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．

（1）请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积．

（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？

（3）若铁盒的全面积是底面积的倍，求此时的值（用含的代数式表示）．是否存在一个整数，使得铁盒的全面积是底面积的整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由．

21．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．

　　　　　　
请你利用上述方法解决下列问题：

（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2；

（拓展应用）

提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？

几何建模：

用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：

（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．

（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．

请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）

归纳提炼：

两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：　      ．

22．（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）；    （2）计算：（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）；

（3）根据以上等式进行猜想，当n是偶数时，可得：（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣xn﹣1…x3+x2﹣x+1）＝　       　．

23．（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；

（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；

（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　   　；

（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝　   　（n为大于3的正整数），并证明你的结论；

（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；

（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝　   　．

1+……+x+1）= xn＋1−1，是解题的关键．

24．观察下列各式：

（1）根据以上的规律得：（为正整数）

（2） 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：

① 

②（﹣2）50＋（﹣2）49＋（﹣2）48＋…＋（﹣2）＋1

25．在我们的生活中，很多看似繁杂的事情，其中总是隐藏着某种规律，若能找到其中的规律，就能化繁为简，巧妙解决：

（Ⅰ）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．

……

（i）根据上面的规律，展开______．

（ii）计算：

（Ⅱ）构成运算的元素有若干个相同时，将这些相同的元素归到一起看成一个整体，此时一般引入参数（表示数字的字母），化繁为简，往往可以取到事半功倍的效果．请认真观察以下算式的结构、特征，完成解答：若，，比较M与N的大小．

26．你能求（x﹣1）（x2018+x2017+x2016+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：

①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；

②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；

③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；

…

（1）由此我们可以得到：（x﹣1）（x2018+x2017+x2016+…+x+1）＝　        　；

（2）请你利用上面的结论，完成下面的计算：

①22018+22017+22016+…+2+1；

②（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）+1．

27．1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书﹣﹣《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，如图1，这个数字三角形原名“开方作法本源图”，是1050～100年间北宋人贾宪做的．后来，我们就把这种数字三角形叫做贾宪三角或杨辉三角，杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表，如图2所示．

（1）写出杨辉三角中的你所发现的规律（1条即可）；

（2）写出（a+b）7展开式中的各项系数；

（3）已知（x﹣1）6＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+1，求a+b+c+d+e+f的值．

28．观察下列等式：

第1个等式：12＝13；

第2个等式：（1+2）2＝13+23；

第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33；

第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：　 　；

（2）写出第n（n为正整数）个等式：　 　（用含n的等式表示）；

（3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值．

29．阅读思考：我们知道：

；

；

；

．

观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得的结果就是这两个两位数相乘的积．

解决问题：

（1）请用观察到的规律直接写出：

①；

②；

（2）十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为．如果，上述规律可表示为，请说明这个等式成立的合理性；

（3）个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果，请仿照（2）写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．

30．（1）探究发现：

小明计算下面几个题目

①；②；③；④

后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：

（2）面积说明：

上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式．

（3）逆用规律：

学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：.

31．好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？

根据尝试和总结她发现：一次项就是：x×5×（﹣6）+2x×4×（﹣6）+3x×4×5＝﹣3x．

请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：

（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为　   　，一次项为　   　；

（2）若计算（x+1）（﹣3x+m）（2x﹣1）（m为常数）所得的多项式不含一次项，求m的值；

（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝　   　．

32．小张和小李玩猜数游戏，小张说：“你随便选三个一位数按这样的步骤去运算，①把第一个数乘5；②再加上10；③把所得结果乘以2；④加上第二个数；⑤把所得结果乘以10；⑥加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的三个一位数．”小李按照以上步骤试了几次，过程如下：

小张介绍了他的计算奥秘：将最后的得数减去200，所得的结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数．

探究一：证明小张想法的正确性

小张将最后的得数减去200：

，

所以结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数．小李听完后深受启发也设计了自己的运算程序，让小张随便选三个一位数按这样的步骤去运算：

①把第一个数乘5，再加上5；

②把第二个数乘20，再加上2；

③将①的运算结果与②的运算结果相乘，再加上第三个数；

④减去第一个数与第二个数乘积的100倍．

小李说：“只要小张告诉我最后的得数，我就能知道小张一开始所想的三个一位数。”

小李是如何知道的呢？请你模仿探究一的证明过程填写下表：

探究二：证明小李想法的正确性

请介绍小李的计算奥秘，描述：你是怎样由最后的得数，识别出最初选定的三个一位数的？

33．问题提出：在同底数幂的运算中，常常会遇到求个数的和的情况，这个数的和可以表示为．那么怎样求的值呢？

问题探究：为了解决这个问题我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

探究一：①

②

①-②得 

③

④

③-④得 

⑤

⑥

⑤-⑥得

由以上规律可知            ；

             ．

探究二：⑦

⑧

⑦-⑧得

⑨

⑩

⑨-⑩

请根据前面推导过程推导，并写出推导过程．

问题解决：请求，写出求解过程．