湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数精练

这是一份湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数精练，共8页。

1．函数y＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x)的定义域是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))
C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，0))
2．函数y＝ eq \r(4－2x)的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0，2]
C．[0，2) D．(0，2)
3．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x－1)＋b，且函数图象不经过第一象限，则b的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．(－∞，－2)
4．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
5．已知函数f(x)＝ax＋1－ eq \f(1,4)(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) eq \s\up12(mn)＝( )
A． eq \f(3,2)B． eq \f(2,3)
C． eq \f(8,27) D． eq \f(27,8)
6．(多选)若函数y＝ax－(b＋1)(a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有( )
A．01
C．b>0 D．b<0
7．函数y＝2x的图象与函数y＝2－x的图象关于______对称，它们的交点坐标是________．
8．已知函数f(x)＝ax－1＋xa＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为________．
9．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(ax)，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．
10．设f(x)＝3x，g(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x).
(1)在同一直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)、f(π)与g(－π)、f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[提能力]
11．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－4)>f(3)
12．(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积不超过80 m2
D．若浮萍蔓延到2 m2、4 m2、8 m2所经过的时间分别是t1、t2、t3，则2t2＝t1＋t3
13．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝ax＋2－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋4＝0上，其中mn>0，则 eq \f(1,m＋1)＋ eq \f(2,n)的最小值为________．
15．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围；
(2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围．
[培优生]
16．已知函数f(x)＝|2x－1－1|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)若af(c)，求证：2a＋2c<4.
课时作业(二十六) 指数函数的图象与性质(1)
1．解析：要是函数有意义须满足1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) x≥0，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) x≤1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 0，解得x≥0，
因此，函数y＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x) 的定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)) .
答案：C
2．解析：∵2x>0，
故0≤4－2x<4，
∴函数值域为[0，2).
答案：C
3．解析：由图象可知，
f(0)＝2＋b≤0，即b≤－2.
答案：C
4．解析：由题设知y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))\s\up12(x)，x<0，))∵a>1，∴由指数函数的图象易知选项B符合题意．
答案：B
5．解析：函数f(x)＝ax＋1－ eq \f(1,4)(a>0，且a≠1)中，
令x＋1＝0，得x＝－1，
所以f(－1)＝1－ eq \f(1,4)＝ eq \f(3,4)，
所以f(x)的图象过定点(－1， eq \f(3,4))，
所以m＝－1，n＝ eq \f(3,4)；
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81)))mn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81)))－ eq \f(3,4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,16))) eq \s\up6(\f(3,4))＝ eq \f(27,8).
答案：D
6．解析：若00且a≠1)的图象过第一、三、四象限，所以a>1.
当a>1时，要使y＝ax－(b＋1)的图象过第一、三、四象限，则b＋1>1，即b>0.
答案：BC
7．解析：函数y＝2x的图象与函数y＝2－x的图象如下：
由指数函数的性质可知，函数y＝2x的图象与函数y＝2－x的图象关于y轴对称，它们的交点坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1)).
答案：y轴 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))
8．解析：x＝1时，f(1)＝1＋1＋2＝4，所以函数图象恒过定点(1，4).
答案：(1，4)
9．解析：(1)由已知得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－a)＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)，
又g(x)＝f(x)，
则4－x－2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(x)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)－2＝0，
即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x))) eq \s\up12(2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)－2＝0，令 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)＝t，
则t>0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)＝2，
解得x＝－1.
10．解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(－1)＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(－π)＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(－m)＝3m.
从以上计算的结果看，当这两个函数自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
11．解析：由f(2)＝a－2＝4得a＝ eq \f(1,2)，即f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－|x|＝2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))，故f(－2)>f(－1)，f(2)>f(1)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以AD正确．
答案：AD
12．解析：将点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))的坐标代入函数y＝at的解析式，得a1＝3，函数的解析式为y＝3t.
对于A选项，由 eq \f(3n＋1－3n,3n)＝2可得浮萍每月的增长率为2，A选项正确；
对于B选项，浮萍第1个月增加的面积为31－30＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m2))，第2个月增加的面积为32－31＝6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m2))，2≠6，B选项错误；
对于C选项，第4个月时，浮萍的面积为34＝81>80，C选项错误；
对于D选项，由题意可得3t1＝2，3t2＝4，3t3＝8，∵42＝2×8，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3t2))2＝3t1×3t2，
即32t2＝3t1＋t3，所以，2t2＝t1＋t3，D选项正确．
答案：AD
13．解析：因为2x＝a－1有负根，所以x<0，所以0<2x<1.所以0答案：(1，2)
14．解析：函数f(x)＝ax＋2 －2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1))，
所以A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1))，
将A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1))代入到直线mx＋ny＋4＝0中，得到2m＋n＝4，
即2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋1))＋n＝6
所以 eq \f(1,m＋1)＋ eq \f(2,n)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m＋1)＋\f(2,n)))× eq \f(1,6)× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋1))＋n))
＝ eq \f(1,6) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m＋1)＋\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋1)),n)＋2))
≥ eq \f(1,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2×2＋2))＝ eq \f(4,3)
当且仅当m＝ eq \f(1,2)，n＝3时，等号成立．
答案： eq \f(4,3)
15．解析：(1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0，1).
又f(0)＝1＋b<0，所以b的取值范围为(－∞，－1).
(2)y＝|f(x)|的图象如图所示．
由图象可知使|f(x)|＝m有且仅有一解的m值为m＝0或m≥3.
16．解析：(1)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1－1，x≥1，,1－2x－1，x<1，))其图象如图所示．
(2)证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，所以2a＋2c<4.
综上知，总有2a＋2c<4.