湘教版（2019）必修 第一册6.4 用样本估计总体练习题

这是一份湘教版（2019）必修 第一册6.4 用样本估计总体练习题，共10页。

1．一组数据的方差一定是( )
A．正数 B．负数
C．任意实数 D．非负数
2．样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是( )
A．第一组 B．第二组
C．第三组 D．第四组
3．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90，90，93，94，93，则该学生在这五次月考中数学成绩的平均数和方差分别为( )
A．92，2.8 B．92，2
C．93，2 D．93，2.8
4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和 xB，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A．xA＞xB，sA＞sB B．xA＜xB，sA＞sB
C．xA＞xB，sA＜sB D．xA＜xB，sA＜sB
5．下列各组数中方差最小的是( )
A．1，2，3，4，5 B．2，2，2，4，5
C．3，3，3，3，3 D．2，3，2，3，2
6．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．55.2，3.6 B．55.2，56.4
C．64.8，63.6 D．64.8，3.6
7．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
则以上两组数据的方差中较小的一组数据的s2＝________.
8．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
9．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
10．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；
乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.
经预测，成绩超过1.65 m就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70 m方可获得冠军呢？
[提能力]
11．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )
A．40.6，1.1 B．48.8，4.4
C．81.2，44.4 D．78.8，75.6
12．(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下选项判断不正确的有( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
13．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差为________．
14．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，给出下列四个判断 ，①甲同学：平均数为2，众数为1；②乙同学：平均数为2，方差小于1；③丙同学：中位数为2，众数为2；④丁同学：众数为2，方差大于1.
可推断出一定是尖子生的是________．
15．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
(1)填写下表：
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①结合平均数和方差分析离散程度；②结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；③结合平均数和命中9环及以上的次数看谁的成绩好些；④从折线图上看两人射靶命中环数及走势分析谁更有潜力．
[培优生]
16．把某校三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
求全班学生的平均成绩和标准差．
课时作业(五十五) 用样本估计总体的离散程度
1．解析：方差可为0和正数．故选D.
答案：D
2．解析：方法一 第一组中，样本数据都为5，标准差为0；第二组中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差为 eq \f(\r(6),3)；第三组中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7，标准差为 eq \f(2\r(5),3)；第四组中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，标准差为2 eq \r(2)，故标准差最大的一组是第四组．
方法二 从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．故选D.
答案：D
3．解析：该学生在这五次月考中数学成绩的平均数为x＝ eq \f(1,5)×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，
方差为s2＝ eq \f(1,5)×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选A.
答案：A
4．解析：由题图知，A组的6个数分别为2.5，10，5，7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15，10，12.5，10，12.5，10，显然xA又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB.故选B.
答案：B
5．解析：对于选项A：平均数为 eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2＋3＋4＋5))＝3，
方差为s2＝ eq \f(1,5)[ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－3))2]＝2；
对于选项B：平均数为 eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2＋2＋4＋5))＝3，
方差为s2＝ eq \f(1,5)[ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－3))2]＝1.6；
对于选项C：平均数为 eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋3＋3＋3＋3))＝3，
方差为s2＝ eq \f(1,5)[ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－3))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－3))2]＝0；
对于选项D：平均数为 eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋3＋2＋3＋2))＝2.4；
方差为s2＝ eq \f(1,5)[ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－2.4))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－2.4))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－2.4))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－2.4))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－2.4))2]＝0.24；
因为0<0.24<1.6<2，
所以选项C中的数据方差最小，故选C.
答案：C
6．解析：每一个数据都加上60时，平均数也增加60，而方差不变，故选D.
答案：D
7．解析：由题意知x甲＝ eq \f(1,5)(6＋7＋7＋8＋7)＝7，
x乙＝ eq \f(1,5)(6＋7＋6＋7＋9)＝7，
s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(甲)) ＝ eq \f(1,5)[(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝ eq \f(2,5)，
s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(乙)) ＝ eq \f(1,5)[(6－7)2＋…＋(9－7)2]＝ eq \f(6,5).
∵ eq \f(2,5)＜ eq \f(6,5)，∴较小的一个s2＝ eq \f(2,5).
答案： eq \f(2,5)
8．解析：由题意可得：x＋y＝20， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－10))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－10))2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则2t2＝8，解得t＝±2，
∴ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－y))＝2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(t))＝4.
答案：4
9．解析：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
x高＝ eq \f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45(岁)，
年龄的方差为
s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(高)) ＝ eq \f(1,10)×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
x＝ eq \f(50,50＋10)×38＋ eq \f(10,50＋10)×45≈39.2(岁)，
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝ eq \f(50,50＋10)×[2＋(38－39.2)2]＋ eq \f(10,50＋10)×[73＋(45－39.2)2]＝20.64.
10．解析：甲的平均成绩和方差：
x甲＝ eq \f(1,8)×(1.70＋1.65＋…＋1.67)＝1.69，s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(甲)) ＝ eq \f(1,8)×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差：
x乙＝ eq \f(1,8)×(1.60＋1.73＋… ＋1.75)＝1.68，s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(乙)) ＝ eq \f(1,8)×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70 m方可获得冠军时，应派乙参加比赛．
11．解析：方法一 设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，
则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，
所以 eq \f(2x1－80＋2x2－80＋…＋2xn－80,n)＝1.2，
所以 eq \f(2（x1＋x2＋…＋xn）－80n,n)＝1.2，即 eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝40.6.
eq \f(1,n)[(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2]＝4.4，
即 eq \f(1,n)[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝4.4，
则 eq \f(1,n)[(x1－40.6)2＋(x2－40.6)2＋…＋(xn－40.6)2]
＝ eq \f(1,4n)[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝ eq \f(1,4)×4.4＝1.1.
方法二 设原数据的平均数为x，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2x－80，方差为22s2，
由题意得2x－80＝1.2，22s2＝4.4，解得x＝40.6，s2＝1.1.故选A.
答案：A
12．解析：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为 eq \f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2， eq \f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝ eq \f(12,5)，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为2，2，2，2，5，5，8，8，8，8.∵x＝5，∴s2＝ eq \f(1,10)[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝ eq \f(1,10)×8×9＝ eq \f(36,5)，∴s＝ eq \f(6\r(5),5).
答案： eq \f(6\r(5),5)
14．解析：甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除甲；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－2))2))<1，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－2))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－2))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－2))2<3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2，2，4，不符合题意；
丁同学：众数为2，方差大于1，有可能是2，2，6不符合题意．
答案：乙
15．解析：(1)乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.所以x乙＝ eq \f(1,10)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10))＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是 eq \f(7＋8,2)＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：
(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(甲)) ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环及以上的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．
16．解析：设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1，2，…，20)，
第二组20名学生的成绩为yi(i＝1，2，…，20)，
依题意有x＝ eq \f(1,20)(x1＋x2＋…＋x20)＝90，
y＝ eq \f(1,20)(y1＋y2＋…＋y20)＝80，
故全班平均成绩为
eq \f(1,40)(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)
＝ eq \f(1,40)(90×20＋80×20)＝85；
又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则
s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＝ eq \f(1,20)(x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＋x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＋…＋x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(20)) －20x2)，
s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝ eq \f(1,20)(y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＋y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＋…＋y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(20)) －20y2)(此处，x＝90，y＝80)，
又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为z(z＝85)，故有s2＝ eq \f(1,40)(x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＋x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＋…＋x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(20)) ＋y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＋y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＋…＋y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(20)) －40z2)＝ eq \f(1,40)(20s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＋20x2＋20s eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＋20y2－40z2)
＝ eq \f(1,2)(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.
即s＝ eq \r(51).
所以全班学生的平均成绩为85分，标准差为 eq \r(51).学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
统计量
组别
平均成绩
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3