6.4.2　用样本估计总体的离散程度

课标要求　1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).2.理解离散程度参数的统计含义.

素养要求　应用极差、标准差和方差估计总体的离散程度，发展学生的数学运算素养和数据分析素养.

自 主 梳 理

1.极差

将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示.

2.方差和标准差

(1)若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称

σ2＝为总体方差或方差，则称σ＝是总体标准差.

(2)总体方差σ2刻画了总体中的个体向总体均值μ的集中或离散的程度：方差越小，表明个体与均值μ的距离越近，个体向μ集中得越好.

(3)若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]为这n个数据的样本方差，也简称为方差.

(4)设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2].则s＝称为样本标准差.

温馨提醒　(1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.

(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.(×)

提示　标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中.

(2)在刻画观测数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.(√)

(3)方差是刻画离散程度的一种理想度量.(×)

提示　标准差与数据有相同的单位，而刻画离散程度的一种理想度量应是标准差.

2.(多选)下列四个选项中，正确的是(　　)

A.极差与方差都反映了数据的离散程度

B.方差是没有单位的统计量

C.标准差比较小时，数据比较分散

D.只有两个数据时，极差是标准差的2倍

答案　AD

解析　只有两个数据时，极差等于|x2－x1|，标准差等于|x2－x1|.故D正确.

由定义可知A正确，B，C错误.

3.有一份统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的均值为6，则这组数据的方差为(　　 )

A.6   B. 

C.66   D.6.5

答案　A

解析　∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5.

方差为：

s2＝＝＝6.

4.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4

则：(1)平均命中环数为________；

(2)命中环数的标准差为________.

答案　(1)7　(2)2

解析　(1)＝＝7.

(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.

题型一　方差、标准差的计算与应用

例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

解　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定.

思维升华　数据的离散程度可以通过方差或标准差来描述.方差反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度又引入了标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到均值的一种平均距离.

训练1 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为________.

答案　2

解析　由表中的数据计算可得甲＝90，乙＝90，且方差

s＝

＝4，

s＝

＝2.

所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2.

题型二　分层抽样的方差及应用

例2 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？

解　由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，

乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝，

则甲、乙两队全部队员的平均体重为

＝×60＋×70＝68(kg)，

甲、乙两队全部队员的体重的方差为

s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.

思维升华　计算分层抽样的方差s2的步骤：

(1)确定1，2，s，s，

(2)确定；

(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋·[s＋(2－)2]，计算s2.

训练2 已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2022年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________.

答案　118.52

解析　设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知

20＝[s2＋(1.2－2.4)2]＋[10＋(1.2－1.8)2]＋[8＋(1.2－0.8)2]，

解得s2＝118.52，即二线城市房价的方差为118.52.

题型三　方差与标准差的综合应用

例3 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.

解　(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

甲：10，13，12，14，16；

乙：13，14，12，12，14.

甲＝＝13，

乙＝＝13，

s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，

s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.

(2)s>s可知乙的成绩较稳定.

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.

思维升华　(1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小.

(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性.

训练3 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：

(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；

(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？

解　(1)各组天数的中间数值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，

由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天).

(2)s2＝×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60.

故标准差为≈46(天).

估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适.

[课堂小结]

1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.

2.标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).

标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.

一、基础达标

1.已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为(　　)

A.1   B. 

C.   D.2

答案　B

解析　∵样本容量n＝5，∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，

∴s＝

＝.

2.若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的均值是10，方差为2，则对于样本2＋x1，2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是(　　)

A.均值是10，方差为2 B.均值是11，方差为3

C.均值是11，方差为2 D.均值是10，方差为3

答案　C

解析　若x1，x2，…，xn的均值为，方差为s2，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的均值为＋a，方差为s2.

3.甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为甲、乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则(　　)

A.甲<乙，σ甲<σ乙   B.甲<乙，σ甲>σ乙

C.甲>乙，σ甲<σ乙   D.甲>乙，σ甲>σ乙

答案　C

解析　由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都远高于乙同学，可知甲>乙，

观察题图发现甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙，故选C.

4.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示，9个分数分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91.则7个剩余分数的方差为(　　)

A.   B. 

C.36   D.

答案　B

解析　由题意知去掉的两个数是87，99，

所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.

故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.

5.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数录错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是(　　)

A.70，75   B.70，50

C.75，1.04   D.65，2.35

答案　B

解析　因甲少记了30分，乙多记了30分，

故平均分不变，设更正后的方差为s2，

则由题意可得s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，

而更正前有75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.

6.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个).

答案　 丙

解析　分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，

又丙的方差比乙小，

说明丙成绩发挥得较为稳定，

所以最佳人选为丙.

7.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________.

答案　0.1

解析　这组数据的平均数＝(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，

故s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.

8.甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，甲组为75，89，88，a，98；乙组为76，85，89，98，97.若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a＝________，甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________.

答案　95　甲组

解析　由题意可知＝＝89，解得a＝95.

因为s＝×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝，

s＝×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝，

所以s<s，故成绩相对稳定的是甲组.

9.如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次.

(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；

(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较.

解　(1)

(2)甲＝9环，乙＝9环，s＝，s＝1，

因为甲＝乙，s＜s，

所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定.

10.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.

解　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为

高＝＝45(岁)，

年龄的方差为s＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，

所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为

＝×38＋×45≈39.2(岁)，

该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是

s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64.

二、能力提升

11.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　)

A.s3＞s1＞s2   B.s2＞s1＞s3

C.s1＞s2＞s3   D.s3＞s2＞s1

答案　D

解析　所给图是成绩分布图，平均分是75，

在图1中，集中在75分附近的数据最多，

图3中从50分到100分均匀分布，

所有成绩不集中在任何一个数据附近，

图2介于两者之间.

由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.

12.某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3，方差为s2＝1.966，其中高一学生、高二学生、高三学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.7，2＝3.1，3＝3.3，又已知高一、高二两个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，则高三学生每天读书时间的方差s＝________.

答案　3

解析　由题意可得，1.966＝×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[s＋(3.3－3)2]，解得s＝3.

13.已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？

解　①甲＝×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4，乙＝×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4.

②极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20；

乙地温度极差＝10－0＝10.

③标准差：

s甲＝≈8.4，

s乙＝≈3.5，

显然两地的平均温度相等，乙地温度的极差、标准差较小，说明了乙地温度波动较小.

因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋.

三、创新拓展

14.(多选)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是(　　)

A.乙的记忆能力优于甲

B.乙的观察能力优于创造能力

C.甲的六大能力整体水平优于乙

D.甲的六大能力比乙较均衡

答案　BCD

解析　由六维能力雷达图，知乙的记忆能力指标值是4，甲的记忆能力指标值是5，故甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错误；

乙的创造能力指标值是3，观察能力指标值是4，故乙的观察能力优于创造能力，故B正确；

甲的六大能力之和为25，乙的六大能力之和为24，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确；

甲的六大能力指标值的方差为s＝，乙的六大能力指标值的方差为s＝，所以s<s，即甲的六大能力比乙较均衡，D正确.