【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件培优课　与圆有关的最值问题

培优课　与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等.

常见的有以下几种类型：

(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线的斜率的最值问题.

(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题.

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.

求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解.

类型一　由特殊位置求最值

例1 (1)已知点P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，则四边形PACB面积的最小值是(　　)

A.   B.2

C.   D.2

(2)直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0被圆x2＋y2＝16所截得的弦长的最小值为________.

答案　(1)C　(2)2

解析　(1)圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，

圆心C(1，1)，半径r＝1，根据对称性，

可知四边形PACB的面积为

2S△APC＝2××|PA|×r＝|PA|＝，

要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，此时PC⊥l.

又圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2，则|PC|的最小值为2.

所以四边形PACB面积的最小值为

＝＝.

(2)直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0可化为x－2y＋1＋m(2x＋3y－5)＝0，

由

得

即直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0过定点P(1，1).

而圆x2＋y2＝16的圆心为O(0，0)，半径r＝4，

所以根据圆的几何性质，可知当直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0与OP垂直时，直线被圆所截得的弦长最小，

即2＝2＝2.

例2 已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3).

(1)若P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；

(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值.

解　(1)因为点P(a，a＋1)在圆上，

所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，

所以a＝4，P(4，5)，

∴|PQ|＝＝2，

直线PQ的斜率kPQ＝＝.

(2)因为圆心C的坐标为(2，7)，半径为2，

所以|CQ|＝4>2.

∴Q在圆外，

所以|MQ|max＝4＋2＝6，

|MQ|min＝4－2＝2.

类型二　由几何意义求最值

例3 已知实数x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求下列各式的最值：

(1)；

(2)x2＋y2；

(3)x＋y.

解　(1)设k＝，变形为

k＝，

此式表示圆(x＋1)2＋y2＝上一点(x，y)与点(0，0)连线的斜率，

由k＝，可得y＝kx(x≠0)，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，

即≤，

解得－≤k≤，

故的最大值是，最小值为－.

(2)由题意知x2＋y2表示圆(x＋1)2＋y2＝上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.

原点(0，0)到圆心(－1，0)的距离d＝1，

故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.

因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.

(3)令x＋y＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题可转化为斜率为－1的直线在经过圆(x＋1)2＋y2＝上的点时在y轴上的截距的最值.

当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，

此时有＝，

解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1.