培优课　圆锥曲线中几个常用结论

类型一　垂径定理及其应用

(1)椭圆＋＝1中，如图.已知直线l与椭圆相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则

kOMkAB＝－＝e2－1.

推广：如图，已知点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为零，

kPAkPB＝－.

(2)双曲线－＝1中，如图.已知直线l与双曲线相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则kOMkAB＝.

(注：直线l与双曲线的渐近线相交于A，B两点，其他条件不变，结论依然成立)

推广：如图，已知点A，B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为零，kPAkPB＝.

例1 (1)椭圆＋＝1的弦被点(2，2)平分，则这条弦所在的直线方程为________.

(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为P(－2，1)，则直线l的斜率为________.

答案　(1)x＋4y－10＝0　(2)

解析　(1)由垂径定理，

得·k＝－，

即k＝－，

则直线方程为y＝－(x－2)＋2，

即x＋4y－10＝0.

(2)由kAB·kOP＝－＝e2－1，

得e2－1＝－，

∴kAB·＝－，

∴kAB＝.

例2 设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|.则该双曲线的离心率是________.

答案　

解析　设AB的中点为M(x0，y0)，则MP⊥AB.

又x0－3y0＋m＝0，

∴·＝－1，

整理得＝，

又由垂径定理·＝，

∴a2＝4b2，

∴＝，

∴e＝.

类型二　抛物线中的焦点弦问题

抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过焦点F的直线l与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点A在第一象限，O为原点，直线l的倾斜角为α，则

(1)焦半径：|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|AB|＝x1＋x2＋p；

(2)焦点弦：|AB|＝，

且＋＝为定值，

|AF|＝，|BF|＝，

以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

例3 过点M(1，0)作直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，当直线l的斜率为1时，|AB|＝________.

答案　8

解析　法一　直线l为y＝x－1，

由

得x2－6x＋1＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝6，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.

法二　由过焦点M(1，0)的弦长|AB|＝，直线斜率为1，

则sin α＝，

∴|AB|＝＝8.

例4 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　)

A.3  B.2

C.   D.

答案　A

解析　由抛物线的性质可知，

|AF|＝，

|BF|＝，

∴＝＝3.