【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件培优课　与圆有关的最值问题

培优课　与圆有关的最值问题

在点的运动变化中，点到直线、圆的距离会发生变化，就会出现一些最值问题，如距离最大、最小，弦长的最长、最短等.解决这些问题常常用到平面几何知识，数形结合思想以及斜率、截距的几何意义.

类型一　与距离有关的最值问题

与距离有关的最值问题的类型与常见的解法：

(1)圆外一点A到圆O上距离最近为－r，最远为＋r；

(2)直线与圆相离时，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d＋r，最短为d－r；

(3)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；

(4)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两平行线间的距离.

例1 已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆E：x2＋y2＝4上运动.

(1)求过点C且被圆E截得的弦长为2的直线方程；

(2)求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值.

解　(1)依题意，直线的斜率存在，因为过点C且被圆E截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为＝，设直线方程为y＋2＝k(x－4)，即kx－y－4k－2＝0，所以＝，解得k＝－或k＝－1，所以直线方程为x＋7y＋10＝0或x＋y－2＝0.

(2)设P点坐标为，则x2＋y2＝4.

|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3－4y＋68＝80－4y，因为－2≤y≤2，所以72≤80－4y≤88，

即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.

类型二　与面积有关的最值问题

与面积有关的最值问题，一般转化为求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时也可以通过数形结合、转化思想求解.

例2 已知圆E经过点A(0，0)，B(1，1)，C(2，0).

(1)求圆E的方程；

(2)若P为圆E上的一动点，求△ABP面积的最大值.

解　(1)设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题设可得⇒

∴圆E的方程为x2＋y2－2x＝0即(x－1)2＋y2＝1.

(2)∵A(0，0)，B(1，1)，

∴AB的方程为x－y＝0，且|AB|＝，

∴圆心E(1，0)到直线AB的距离为d＝＝，∴点P到直线AB的距离的最大值为＋1，

∴S△ABP≤×|AB|×＝××＝.

类型三　与弦长有关的最值问题

与圆的弦长有关的问题主要是：①过圆内一点的最长弦为过该点的直径；②过圆内一点最短弦为过该点且垂直于直径的弦.

例3 已知直线l：kx－y－3k＝0与圆M：x2＋y2－8x－2y＋9＝0.

(1)求证：直线l与圆M必相交；

(2)当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值.

(1)证明　直线l的方程可化为：k－y＝0，当x＝3，y＝0时，不论k取何值，等式恒成立，所以直线l恒过点A，代入圆的方程可得x2＋y2－8x－2y＋9＝－6<0，所以A在圆内，则直线l与圆M必相交.

(2)解　将圆M的方程化为2＋2＝8，圆心为M，半径r＝2，

由(1)知，直线l恒过点A，当圆M截直线l所得弦长最小时，则MA垂直于直线l，即kMA·k＝－1，∵M，A，

∴kMA＝＝1，∴k＝－1，

所以当圆M截直线l所得弦长最小时，k的值为－1.

类型四　利用几何意义解与圆有关的最值问题

(1)形如u＝形式的最值问题可转化为求动直线斜率的最值问题.

(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为求动直线截距的最值问题.

(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为求动点到定点的距离的平方的最值问题.

例4 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值.

解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.

(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，

解得k＝±(如图①)，所以的最大值为，最小值为－.

(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图②)，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值(如图③)，又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.