【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件培优课　最值与对称问题

培优课　最值与对称问题

类型一　由点到直线的距离求最值

例1 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则的最小值为________.

(2)点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________.

答案　(1)　(2)8

解析　(1)∵

＝，

∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0，1)的距离，

即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，∴|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，

即|MN|min＝d＝＝.

(2)x2＋y2表示的是直线x＋y－4＝0上的点与原点之间的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x2＋y2)min＝＝8.

例2 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)

A.3    B.2

C.3    D.4

答案　A

解析　依题意知AB的中点M构成的集合为：与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，记为l，则点M到原点的距离的最小值为原点到直线l的距离.

设直线l的方程为x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，则＝，即|m＋7|＝|m＋5|，解得m＝－6，所以l：x＋y－6＝0.

根据点到直线的距离公式，得AB的中点M到原点的距离的最小值为＝3.

类型二　由两点的距离或两平行线的距离求最值

例3 点P(2，3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　)

A.3，－3   B.5，2   C.5，1   D.7，1

答案　C

解析　由直线ax＋(a－1)y＋3＝0过定点A(－3，3)，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与A，P两点所在直线垂直时，距离d最大，最大值为dAP＝5，此时a＝1.

例4 已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为(　　)

A.   B.   C.1   D.

答案　C

解析　取点P(m，n)，Q(a，b)，

则＝|PQ|.

由已知3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，

可得点P在直线l1：3x＋4y－6＝0上，

点Q在直线l2：3x＋4y－1＝0上.

显然两直线平行，所以|PQ|的最小值就是两平行线之间的距离，即＝1.

类型三　中心对称问题

1.点关于点对称

点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，由得

2.直线关于点对称

直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即所求的直线方程.

例5 (1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标；

(2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程.

解　(1)根据题意可知点A(a，b)为PP′的中点，设点P′的坐标为(x，y)，

则根据中点坐标公式，得所以

所以点P′的坐标为(2a－x0，2b－y0).

(2)法一　设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，

且M1在直线3x－y－4＝0上，

所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.

所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

法二　在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，

则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1).

可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，

即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

法三　由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，

则可设l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4).

在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，

则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上，

∴3×4－2＋c＝0，∴c＝－10.

∴所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

例6 与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)

A.3x－2y＋2＝0  B.2x＋3y＋7＝0

C.3x－2y－12＝0  D.2x＋3y＋8＝0

答案　D

解析　由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－6).

在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3，0)，

则点(3，0)关于点(1，－1)的对称点(－1，－2)必在所求直线上，

∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.

∴所求直线方程是2x＋3y＋8＝0.

类型四　轴对称问题

1.点关于直线对称

设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直.

即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标.

2.直线关于直线对称

(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程；

(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解.

例7 (1)点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　)

A.(－2，1)    B.(－2，5)

C.(2，－5)    D.(4，－3)

答案　B

解析　设对称点Q的坐标为(a，b)，由题意，得

解得

即Q(－2，5).

(2)已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程.

解　法一　因为l1∥l，所以l2∥l，

设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3且m≠－1)，

因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等.

由两平行直线间的距离公式，

得＝，

解得m＝－5或m＝3(舍去)，

所以直线l2的方程为x－y－5＝0.

法二　因为l1∥l，l2∥l，

设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3且m≠－1)，

在直线l1上取一点M(0，3)，

设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，

则有

解得

即M′(4，－1).

把点M′(4，－1)代入直线l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.

例8 已知两点A(3，－3)，B(5，1)，直线l：y＝x，在直线l上求一点P使|PA|＋|PB|取得最小值，则点P的坐标是(　　)

A.(1，－1)    B.(－1，1)

C.    D.(－2，2)

答案　C

解析　如图作点A关于直线l的对称点A′，易知A′(－3，3).

连接BA′交直线l于点P，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|.

又直线A′B的方程为x＋4y－9＝0，与y＝x联立解得P.