培优课　焦点三角形

椭圆或双曲线上的点P(x0，y0)与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边.

(1)在椭圆中，①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c.

②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦定理：

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|·cos θ.

③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为b2(当且仅当x0＝±a时取得).

④S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，最大值为bc.

(2)在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△PF1F2，由余弦定理与定义可得S△PF1F2＝＝c·|yP|.

类型一　椭圆中的焦点三角形

例1 已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

(1)求椭圆的离心率的取值范围；

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

(1)解　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

在△F1PF2中，由余弦定理，得

cos ∠F1PF2＝，

即cos 60°＝

＝－1≥－1

＝－1＝1－＝1－2e2，

当且仅当m＝n时取“＝”，所以e2≥.

又e∈(0，1)，所以e∈.

(2)证明　由(1)，知cos 60°＝＝－1，

所以mn＝b2，

所以S△F1PF2＝mnsin 60°＝b2，

即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

例2 椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由基本不等式，得(|PF1|＋|PF2|)2≥4|PF1|·|PF2|.

又|PF1|＋|PF2|＝2a，

所以4a2≥4|PF1|·|PF2|，

即|PF1|·|PF2|≤a2，

所以(|PF1|·|PF2|)max＝a2，

此时|PF1|＝|PF2|＝a，

所以2c2≤a2≤3c2，

得2e2≤1≤3e2，

所以≤e2≤.

又0<e<1，

所以≤e≤.

类型二　焦点三角形的面积及综合应用

例3 设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2＝60°，

(1)求△F1PF2的面积；

(2)求点P的坐标；

(3)求·的值.

解　(1)由椭圆方程知，

a2＝25，b2＝，

所以c2＝，则c＝，2c＝5.

在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，

即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①

由椭圆的定义，知10＝|PF1|＋|PF2|，

所以100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②

②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，

所以|PF1|·|PF2|＝25，

所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.

(2)设P(x0，y0)，则

S△F1PF2＝·|F1F2|·|y0|，

由(1)可得＝×5·|y0|，

于是|y0|＝，

所以y0＝±，

将代入椭圆方程，得

＋＝1，

解得x＝0，所以x0＝0，

于是点P的坐标为或.

(3)由(1)可得F1，F2，

由(2)可知点P的坐标为或，

所以＝，

＝或＝，＝，

故·＝－＋＝.

例4 已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上，且△PF1F2的面积为b2，求cos∠F1PF2的值.

解　依题意可得

整理得|PF1|·|PF2|＝.

∵△PF1F2的面积为b2，

∴×·sin∠F1PF2＝b2，

∴1＋cos∠F1PF2＝sin∠F1PF2，

又∵sin2∠F1PF2＋cos2∠F1PF2＝1，

∴cos∠F1PF2＝(cos∠F1PF2＝－1舍去).

类型三　双曲线中的焦点三角形

例5 如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积.

解　在△MF1F2中，由余弦定理，得

|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·

|MF2|·cos θ.①

∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝

(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，

∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|·

(1－cos θ)，

∴|MF1|·|MF2|＝，

∴S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|·sin θ＝

＝＝.

例6 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，且|F1F2|＝2，若P是双曲线右支上一点，且满足|PF1|＝3|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是(　　)

A.  B.1 

C.   D.

答案　A

解析　因为P是双曲线右支上一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，

又|PF1|＝3|PF2|，

所以|PF1|＝3a，

|PF2|＝a，设∠F1PF2＝θ，

所以cos θ＝＝.

所以S2△PF1F2＝(a·3a·sin θ)2

＝a4(1－)

＝－4(a2－)2＋≤，

所以S△PF1F2≤，当且仅当a2＝时等号成立.