【最新版】高中数学(新人教A版)习题+同步课件限时小练24 直线与圆相交的弦长问题
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1.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.
解 (1)依题意知:圆C的半径r==3,
圆心坐标为(3,0),故圆C的方程为(x-3)2+y2=9.
(2)∵直线l2平行于l1,直线l1的方程为x-2y+4=0,
∴设直线l2的方程为x-2y+C=0(C≠4),
又∵弦长|MN|=4,圆的半径为3,
故圆心C到直线l2的距离d===,∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,∴直线l2的方程为x-2y+2=0或x-2y-8=0.
2.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.
(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.
解 (1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a≤4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.
直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是=|2-a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得
L=2=
2=2.
∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2.
(2)∵直线l与圆C相切,则有
=2,即|m-2a|=2.
∵点C在直线l的上方,
∴a>-a+m,即2a>m,
∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.
∵0<a≤4,∴0<≤2,
∴m∈[-1,8-4].
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