高中苏教版 (2019)3.2 基本不等式习题课件ppt

培优课　用基本不等式巧解最值问题

基本不等式≤(a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解一些最值问题.对于有些题目，可以直接利用公式求解，但更多的题目必须进行必要的变形才能利用基本不等式求解，需要掌握一些常用的变形方法与策略.

类型一　凑项

例1 已知x＜，求y＝4x－2＋的最大值.

解　∵x＜，∴3－4x＞0，

∴y＝4x－2＋＝4x－3＋＋1

＝－＋1≤

－2＋1＝－1，

当且仅当3－4x＝，即x＝时等号成立.

故x＝时，ymax＝－1.

类型二　凑系数

例2 已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值.

解　∵0＜x＜，∴4－3x＞0，

∴x(4－3x)＝×3x·(4－3x)

≤×＝×＝，

当且仅当3x＝4－3x，

即x＝时等号成立.

故x＝时，x(4－3x)的最大值为.

类型三　分离

例3 求y＝(x＞－1)的最小值.

解　法一　y＝

＝

＝(x＋1)＋＋2.

当x＞－1时，x＋1＞0，

∴y≥2＋2＝2＋2，

当且仅当x＋1＝时，即x＝－1时等号成立，

故ymin＝2＋2.

法二　　令t＝x＋1＞0，则x＝t－1，

∴y＝＝

＝t＋＋2≥2＋2＝2＋2，

当且仅当t＝，即t＝时，

此时x＝－1，等号成立.

故ymin＝2＋2.

类型四　整体代换

例4 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.

答案　5

解析　∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1.

又x＞0，y＞0，

∴3x＋4y＝(3x＋4y)

＝＋＋≥＋2

＝＋＝5，

当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立.

∴3x＋4y的最小值为5.

类型五　取平方

例5 已知x，y为正实数，且3x＋2y＝10，求w＝＋的最大值.

解　法一　＋≤

＝＝2，

当且仅当＝，

即x＝，y＝时等号成立，∴wmax＝2.

法二　∵w＞0，

∴w2＝3x＋2y＋2·

＝10＋2·

≤10＋2×

＝10＋(3x＋2y)＝20，

∴w≤＝2，

当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立.

∴wmax＝2.

类型六　消元代换

例6 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________.

答案　8

解析　∵xy＋3x＝3，∴xy＝3－3x，

∴y＝－3，∴＝y＋3.

∵0＜x＜，∴＞6，∴y＋3＞6，∴y＞3，

∴＋＝y＋3＋

＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时等号成立，∴＋的最小值为8.

类型七　建立求解目标的不等式求最值

例7 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________.

答案　6－1

解析　由a＞0，b＞0且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，

即(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，

即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，

可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)

≥2＝6，

当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时取等号，

即a＝1，b＝－1时有3a＋4b的最小值为6－1.