苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式同步达标检测题

3.2　基本不等式≤(a,b≥0)

3.2.1　基本不等式的证明

3.2.2　基本不等式的应用

基础过关练

题组一　对基本不等式的理解

1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.a2+b2>2ab B.a+b≥2

C. D.≥2

2.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.x≥2y B.x>2y

C.x≤2y D.x<2y

3.下列各式中,对任何实数x恒成立的是(　　)

A.x+1≥2 B.x2+1>2x

C.≤1 D.x+≥2

4.(2020北京东城高一期末)“a,b为正数”是“a+b>2”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

题组二　利用基本不等式比较大小

5.已知a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是(　　)

A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|

C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|

6.设0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是(　　)

A. B.a2+b2 C.2ab D.a

7.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是(　　)

A.a>>b 

B.b>>a

C.b>>a 

D.b>a>

8.若a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　　　　　. 

题组三　利用基本不等式求最值(取值范围)

9.(2020江苏江阴四校高二上学期期中)若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是(　　)

A.[9,+∞) B.(-∞,1]∪[9,+∞)

C.(0,1]∪[9,+∞) D.[1,9]

10.(2020浙江诸暨高二期末)已知函数y=x+(x>1),则函数的最小值为(　　)

A.4 B.4+1

C.5 D.9

11.(2020福建南平高一期末)若a,b都是正数,则的最小值为(　　)

A.5 B.7 C.9 D.13

12.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末)若正实数x,y满足x+y=1,则的最小值为(　　)

A. B.

C. D.

13.设0<x<2,则函数y=的最大值为　　　　. 

题组四　利用基本不等式证明不等式

14. 设x>0,求证:x+≥.

15.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>.

16.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:>8.

17.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:.

题组五　利用基本不等式解决实际问题

18.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且三角形的面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,且浪费最少)的是(　　)

A.4.6 m B.4.8 m C.5 m D.5.2 m

19.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,那么这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站　　　　km处(　　) 

A.4 B.5 C.6 D.7

20.(2020广东广州荔湾高二期末)为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当长方形A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为(　　)

A.20 m B.50 m

C.10 m D.100 m

21.某市一外贸公司第一年产值增长率为a,第二年产值增长率为b,这两年的平均增长率为x,则x与的大小关系是　　　　. 

能力提升练

题组一　利用基本不等式求最值

1.(2020山东昌乐一中高二月考,)设a,b满足2a+3b=6(a>0,b>0),则的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C. D.4

2.(多选)(2020广东东莞高二期末,)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是(　　)

A.ab有最大值

B.有最小值

C.有最小值4

D.a2+b2有最小值

3.(2020辽宁辽南协作校高二期末联考,)设正实数a,b,c满足a+b≥c,则的最小值为　　　　. 

4.(2020江苏连云港高一期末, )已知x>0,y>0,则的最小值为　　　　. 

5.(2020山东菏泽高二期末,)已知x>y>0,求x2+的最小值.

题组二　利用基本不等式证明不等式

6.()已知a,b为正数,求证:≥.

7.(2020山东烟台高二期末,)已知a,b,c均为正数,且a,b,c不全相等.求证:>a+b+c.

8.()若a>b,且ab=2,求证:≥4.

9.()(1)已知a、b、c∈R,求证:≥(a+b+c);

(2)若0<x<1,a>0,b>0,求证:≥(a+b)2.

题组三　基本不等式在实际问题中的应用

10.()《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一方法,很多代数中的公理、定理都能够通过图形实现证明,因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于点E,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为(　　)

A.≤(a>0,b>0)

B.(a>0,b>0,a≠b)

C.≤(a>0,b>0)

D.(a>0,b>0,a≠b)

11.()一批货物随17列货车从A市以v千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于千米,则这批货物从A市全部运到B市最快需要　　　　小时.(不计货车的车身长) 

12.()某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层4 000平方米的楼房.经初步估计,如果将楼房建为x(x≥12)层,那么每平方米的平均建筑费用为s=(3 000+50x)元.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少?

注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

13.()2019年12月,湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例,后被诊断为一种新型冠状病毒性肺炎.新型冠状病毒感染的肺炎疫情来势汹汹,1月中下旬,疫情防控已经到了刻不容缓的地步.在这个紧要关头,党中央决定向湖北派出指导组督导湖北武汉把习近平总书记的指示和中央部署贯彻落实好,并指导湖北武汉抗击疫情.湖北省武汉市依法采取果断措施,坚决落实“四类人员”分类集中管理措施.武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施,迅速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状,高度恒定)改造成方舱医院,假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱,正面用一种复合板隔离,每米造价40元,两侧用砖砌墙,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.问:

(1)改造后方舱医院的面积S的最大允许值是多少?

(2)为使S达到最大,而实际造价又不超过预算,那么正面复合板应设计为多长?

答案全解全析

3.2　基本不等式≤(a,b≥0)

3.2.1　基本不等式的证明

3.2.2　基本不等式的应用

基础过关练

1.D　∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合题意;当a<0,b<0时,明显B,C不符合题意;∵ab>0,∴>0,∴≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,∴D符合题意.

2.B　不等式成立的前提条件是x-2y和均为正数,所以x-2y>0,即x>2y,故选B.

3.C　对于A,当x<0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不恒成立;对于C,x2+1≥1恒成立,所以≤1恒成立;对于D,当x<0时,x+≤-2,故D不恒成立.故选C.

4.D　若a,b为正数,取a=1,b=1,则a+b=2,所以“a,b为正数”不是“a+b>2”的充分条件;若a+b>2,取a=1,b=0,则b不是正数,所以“a,b为正数”不是“a+b>2”的必要条件.故“a,b为正数”是“a+b>2”的既不充分又不必要条件,故选D.

5.A　∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,

∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).

6.B　解法一:因为0<a<b,所以1=a+b>2a,所以a<.因为a2+b2>2ab,所以四个数中最大的数一定不是a和2ab.因为1=a+b>2,所以ab<,所以2ab<,即a2+b2>,故选B.

解法二(特值验证法):取a=,则2ab=.

因为,所以a2+b2最大,

故选B.

7.C　∵0<a<b,∴2b>a+b,∴b>.

∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a.故b>>a.

8.答案　≥

解析　因为a>b>c,所以≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.

9.A　∵a>0,b>0,∴a+b≥2,当且仅当a=b时取等号,

∴ab=a+b+3≥2+3,

即ab-2-3≥0,

所以(+1)≥0,

解得≥3或≤-1(舍去),则ab≥9.

故选A.

10.C　因为x>1,所以x-1>0,所以y=x++1≥2+1=5,当且仅当x-1=,即x=3(x=-1舍去)时,等号成立.故选C.

11.C　因为a,b都是正数,所以≥5+2=9(当且仅当b=2a时,等号成立),故选C.

12.D　∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=2,

∴··≥当且仅当x=时,等号成立,故选D.

13.答案　4

解析　∵0<x<2,∴0<3x<6,8-3x>2>0,∴y=≤=4,

当且仅当3x=8-3x,即x=时,等号成立.

∴当x=时,y=有最大值,最大值为4.

14.证明　因为x>0,所以x+>0,

所以x+≥2,

当且仅当x+,即x=时,等号成立.故x+≥.

15.证明　∵a>0,b>0,c>0,

∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0,

∴2(a+b+c)≥2(),

即a+b+c≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).

∵a,b,c为不全相等的正实数,∴等号不成立,∴a+b+c>.

16.证明　因为x,y,z都是正数,且x+y+z=1,

所以≥,①

≥,②

≥,③

①×②×③,

得≥8,当且仅当x=y=z=时,等号成立.

又因为x,y,z互不相等,所以>8.

17.证明　因为a,b,c都是正实数,且abc=1,所以≥2,

≥2,

≥2,

三个不等式左、右两边分别相加,得

2≥2(),

当且仅当a=b=c时,等号成立.

又因为a,b,c为不全相等的正实数,

所以.

18.C　设直角三角形的两直角边长分别为x m,y m,则xy=1,即xy=2.

周长l=x+y+≥2+2≈4.83(m),

当且仅当x=y=时,等号成立.结合实际问题,可知选C.

19.B　设仓库与车站的距离为x km,y1=(k1≠0),y2=k2x(k2≠0),由x=10时,y1=2,y2=8,得k1=20,k2=0.8,所以y1=,y2=0.8x,设费用之和为y元,则y=y2+y1=0.8x+≥2=8,

当且仅当0.8x=,即x=5时,等号成立,故当仓库建在距离车站5 km处时,两项费用之和最小.故选B.

20.B　设BC=x m(x>0),则CD= m,

所以长方形A1B1C1D的面积S=(x+10)

=1 040+4x+

≥1 040+2=1 440,

当且仅当4x=,即x=50时,等号成立,

所以当长方形A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为50 m.故选B.

21.答案　x≤

解析　依题意,可得1+a>0,1+b>0,(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(当且仅当a=b时,等号成立),

所以1+x≤1+,即x≤.

能力提升练

1.A　∵2a+3b=6,∴=1,

∴≥,

当且仅当,即a=b=时,等号成立.

2.AC　∵a>0,b>0,且a+b=1,

∴1=a+b≥2,∴ab≤当且仅当a=b=时,等号成立,

∴ab有最大值,∴A正确;

∵(≤a+b+2·=2当且仅当a=b=时,等号成立,

∴≤,∴有最大值,∴B错误;

∵≥4当且仅当a=b=时,等号成立,

∴有最小值4,

∴C正确;

∵a2+b2≥2ab当且仅当a=b=时,等号成立,由A选项知2ab≤,

∴a2+b2的最小值不是,

∴D错误.故选AC.

3.答案　

解析　∵a,b,c是正实数,且满足a+b≥c,

∴a+2b≥b+c,

∴≥

=≥,

当且仅当a+b=c且b=a时,等号成立.

故答案为.

4.答案　2

解析　.

设=t,∵x,y>0,∴t>0,

∴-2≥2-2=4-2=2,

当且仅当t+1=,即t=1时取等号,此时x=y,

故的最小值为2.

5.解析　因为x>y>0,所以x-y>0,

所以0<y(x-y)≤,

所以x2+ ≥x2+ ≥2=8,

当且仅当即时,等号成立,

故x2+的最小值为8.

6.证明　因为a>0,b>0,

所以(2a+b)≥6+2+1)2(当且仅当b=2a时,等号成立).

因为2a+b>0,

所以≥.

7.证明　∵a>0,b>0,c>0,

∴≥2=2c,

≥2=2a,

≥2=2b,

三个不等式左、右两边分别相加,化简得≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.又a,b,c不全相等,∴等号不成立,

∴>a+b+c.

8.证明　因为a>b,所以a-b>0,所以≥2=4,当且仅当a=1+或a=1-时,等号成立.所以≥4.

9.证明　(1)∵≤,∴≥(a+b)(当且仅当a=b时,等号成立).

同理,≥(b+c)(当且仅当b=c时,等号成立),≥(a+c)(当且仅当a=c时,等号成立).

三式相加得≥(a+c)

=(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).

(2)∵0<x<1,∴1-x>0.

左边=(x+1-x)a2≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=(a+b)2=右边当且仅当a2,即x=时,等号成立.

10.D　由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,易得DC=, DE=.

∵DE<DC<DO,∴(a>0,b>0,a≠b).故选D.

11.答案　8

解析　设这批货物从A市全部运到B市需要t小时,则

t=≥2·=8,

当且仅当,即v=100时,等号成立,

所以这批货物从A市全部运到B市最快需要8小时.

12.解析　设楼房每平方米的平均综合费用为y元.

依题意得y=s++3 000(x≥12,x∈N*).

因为y=50x++3 000≥2×+3 000=5 000,

当且仅当50x=,即x=20时取等号,

所以当x=20时,y取得最小值5 000.

所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值是5 000元.

13.解析　(1)设正面复合板长x m,侧面长为y m,总造价为z元,则方舱医院的面积S=xy,总造价z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy.

由条件知z≤188 000,即4x+9y+2xy≤18 800.

∵x>0,y>0,∴y≤.

令t=9+2x,则x=(t>9),

∴S=xy≤·

=

=-+9 418

≤-2+9 418

=-2×3×97+9 418

=8 836,

当且仅当t=,即t=291时,等号成立.

故S的最大值为8 836 m2.

(2)由(1)知,当S=8 836 m2时,t=291,又t=9+2x,∴x=141.

∴方舱医院的面积S达到最大值8 836 m2,实际造价又不超过预算时,正面复合板的长应设计为141 m.