苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.2 基本不等式导学案

第7练　基本不等式

1．函数y＝x＋＋5(x>1)的最小值为(　　)

A．6  B．7  C．8  D．5

答案　C

解析　∵x>1，x－1>0，

∴函数y＝x＋＋5＝(x－1)＋＋6

≥2＋6＝8，

当且仅当x＝2时，取等号，因此函数y＝x＋＋5的最小值为8，故选C.

2．设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)

A.＋有最大值4   B.有最小值

C.＋有最大值   D．a2＋b2有最小值

答案　C

解析　对于A，＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立，∴＋的最小值为4，故A不正确；

对于B，由基本不等式得≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴的最大值为，故B不正确；

对于C，由不等式可得＋≤2＝2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，

∴＋有最大值，故C正确；

对于D，由不等式可得a2＋b2≥22＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴a2＋b2有最小值，故D不正确．故选C.

3．某工厂第一年产量为A，第二年产量的增长率为a，第三年产量的增长率为b，这两年产量的平均增长率为x，则(　　)

A．x＝   B．x≤

C．x>   D．x≥

答案　B

解析　∵这两年产量的平均增长率为x，

∴A(1＋x)2＝A(1＋a)·(1＋b)，

∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，a>0，b>0.

∴1＋x＝≤＝1＋，

∴x≤，当且仅当1＋a＝1＋b，即a＝b时等号成立．

4．y＝(x>－1)的最小值是(　　)

A．2   B．2－1

C．2＋1   D．2－2

答案　B

解析　∵x>－1，∴x＋1>0，

∴y＝＝＋x＝＋x＋1－1≥2－1，

当且仅当＝x＋1，即x＝－1时等号成立，

所以y＝(x>－1)的最小值是2－1，

故选B.

5．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由x2＋3xy－1＝0，可得y＝.

又x>0，所以x＋y＝＋≥2＝，

当且仅当x＝时等号成立．

6．已知正实数x，y满足x＋y＝4，则x(y＋2)的最大值为________．

答案　9

解析　因为x＋y＝4，所以x＋(y＋2)＝6，

因为x(y＋2)≤2＝9，

当且仅当即时，取等号．

所以x(y＋2)的最大值为9.

7．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．

答案　4

解析　2＋2≥2

＝2≥2＝4，

当且仅当x＝y＝时取等号．

故所求的最小值为4.

8．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝3，则x＋2y的最小值为________．

答案　2

解析　由题意可得，

x＋2y＝3－x·(2y)≥3－2(当且仅当x＝1，y＝时取等号)，

整理得，(x＋2y)2＋4(x＋2y)－12≥0，

即(x＋2y－2)(x＋2y＋6)≥0，

又x＋2y>0，

所以x＋2y≥2(当且仅当x＝1，y＝时取等号)，

所以x＋2y的最小值是2.

9．不等式(x＋y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．

答案　16

解析　(x＋y)＝1＋a＋＋

≥1＋a＋2＝1＋a＋2＝(＋1)2，

当且仅当＝时取等号，即(x＋y)的最小值为(＋1)2.

若不等式(x＋y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则(＋1)2≥25，即＋1≥5，则≥4，则a≥16，即正实数a的最小值为16.

10．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为y＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量x＝1时，总成本y＝142.

(1)求k的值；

(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？

解　(1)由题意，除尘后总成本

y＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8＋kx

＝2x2＋(15－3k)x＋120k＋8，

∵当日产量x＝1时，总成本y＝142，代入计算得k＝1.

(2)由(1)y＝2x2＋12x＋128，总利润

L＝48x－(2x2＋12x＋128)＝36x－2x2－128，x>0，

每吨产品的利润为

＝36－2≤36－4＝4，

当且仅当x＝，即x＝8时取等号，

∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．