人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）习题课件ppt

培优课　抽象函数图象的“中心对称”与“轴对称”

函数的奇偶性反映定义域上的整体性质，揭示函数图象特殊的对称性，进一步拓展有两个结论：

(1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴.

(2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.

类型一　由对称性推出奇偶性

例1 已知y＝f(x)对任意的x∈R，有f(2＋x)＝－f(－x)，试判断f(x＋1)的奇偶性.

解　法一　∵f(2＋x)＝－f(－x)，

∴y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.

又把y＝f(x)的图象向左平移一个单位得y＝f(x＋1)的图象，

∴y＝f(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，

故y＝f(x＋1)为奇函数.

法二　∵∀x∈R，f(2＋x)＝－f(－x).

以x－1代替x，

得f(x＋1)＝－f(－x＋1).

∴y＝f(x＋1)为奇函数.

例2 已知y＝f(x)对任意的x∈R，有f(4＋x)＝f(－x)，试判断f(x＋2)的奇偶性.

解　∀x∈R，有f(x＋4)＝f(－x)，

以x－2代替x，得f(x＋2)＝f(－x＋2)，

∴f(x＋2)是偶函数.

类型二　由奇偶性推出对称性

例3 若f(x＋a)(x∈R，a∈R)是奇函数，则f(a)＝________.

答案　0

解析　∵f(x＋a)是奇函数，

∴y＝f(x)的图象关于点A(a，0)对称，

∴f(a＋x)＋f(a－x)＝0，

令x＝0，得f(a)＋f(a)＝0，则f(a)＝0.

例4 若f(x＋1)与f(x－1)分别是R上的奇函数、偶函数，则f(－3)＋f(5)＝________.

答案　0

解析　∵f(x＋1)是R上的奇函数，

∴y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，

则f(5)＝f(－3)，

又y＝f(x－1)是偶函数，

∴y＝f(x)的图象关于x＝－1对称，

因此f(－3)＝f(1).

又f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，得f(1)＝0，

故f(－3)＋f(5)＝2f(－3)＝2f(1)＝0.

类型三　函数性质的综合应用

例5 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.

答案　0

解析　f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0.

∵f(x)的图象关于直线x＝对称，

∴f(x)＝f(1－x)，

∴f(1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，f(4)＝f(－3)＝－f(3)＝0，

故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.

例6 已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式.

(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数.

(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.

(1)解　根据题意得

即解得

经检验满足题意.

∴f(x)＝.

(2)证明　任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，

f(x1)－f(x2)＝－

＝.

∵－1<x1<x2<1，

∴x1－x2<0，1＋x>0，1＋x>0，

1－x1x2>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在(－1，1)上是增函数.

(3)解　f(t－1)<－f(t)＝f(－t).

∵f(x)在(－1，1)上是增函数，

∴解得0<t<.

所以不等式的解集为.