人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）精品教案设计

5.6.2函数的图象

素养目标

1．深刻理解五点的取法，特别是作正弦型函数的图象时取的五点．(数学运算)

2．从、、的变化总结图象．(直观想象)

3．能由平移和伸缩变换为及逆向平移和伸缩变换．(逻辑推理)

学法解读

在本节学习中，借助实例构建三角函数的形式，利用观察，，对的图象的影响，学会由如何变化为，提升数学素养中的直观想象．

必备知识·探新知

基础知识

知识点一参数，，对函数图象的影响

(1)对，的图象的影响．

(2) ()对的图象的影响．

(3) ()对的图象的影响．

思考1：(1)如何由的图象变换得到的图象？

(2)函数的图象是否可以通过的图象得到？

提示：（1）向左（）或向右（）平移个单位长度.

（2）可以，只要横向“伸”或“缩倍的图象即可.

知识点二函数 (，)中，，，的物理意义

（1）简谐运动的振幅就是.

（2）简谐运动的周期.

（3）简谐运动的频率.

（4）称为相位.

（5）时的相位称为初相.，

思考2：若函数中的或时怎么办？

提示：当或时，应先用诱导公式将的系数或三角函数符号前的数化为正数再确定初相.

知识点三函数 (，)的性质

思考3：(1)怎样判断函数的奇偶性？

(2)判断函数 (，)的单调性时，应用了什么数学思想？

提示：(1)判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，若定义域关于原点不对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再根据奇偶函数的定义判断．

(2)判断函数 (，)的单调性时，要把看作一个整体，应用了“整体代入”的数学思想．

基础自测

1.下列说法中正确的个数是（A）

①的图象向左平移个单位所得图象的解析式是.

②的图象上所有点的横坐标都变为原来的倍所得图象的解析式是.

③的图象上所有点的纵坐标都变为原来的倍所得图象的解析式是.

A．　　 B．　　

C．　　 D．

π

[解析]①的图象向左平移个单位得，故①不正确；②应改为，故②不正确；③应改为，故③不正确，故选A.

[答案]A

2．函数 (，)的最大值为，则(　C　)

A． B．

C． D．

3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点(　A　)

A．向左平行移动个单位长度

B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度

D．向右平行移动个单位长度

4.函数的图象的对称轴方程是（）.

5.函数的频率为，相位为，初相为.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一“五点法”作图

例1用“五点法”画函数的简图.

[分析]列表时，取值要简单（与中五点比较）.

[解析]先画函数在一个周期内的图象，令，则，列表：

描点作图，再将图象左右延伸即可.

[归纳提升]用“五点法”作函数图象的步骤.

第一步：列表.

第二步：在同一坐标系中描出各点.

第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸即可.

[对点练习]➊已知.

（1）在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数在一个周期内的图象；

（2）写出的单调递增区间；

（3）求的最大值和此时相应的的值.

[解析]（1）列表：

作图：

（2）由，得，，所以函数的单调递增区间为，.

（3）当，即（），.

题型二三角函数的图象变换

例2如何由函数的图象得到函数的图象？

[分析]本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可.

[解析]解法一：

解法二：

[归纳提升]　1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．

2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．

[对点练习]❷将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（D ）

A.    B.

C. D.

[解析]函数的周期为，所以将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为，故选D.

题型三由图象确定函数的解析式

例3（1）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ D）

A.B.

C.   D.

（2）已知函数（，）的部分图象如图所示，且，，，.

[分析]（1）由图象可以确定最大值为，周期为，再利用一个点的坐标求.

（2）曲线上由到是周期的，从而求出，再求.

[解析]（1）由图象可知，，，所以，所以，

所以，因为图象过点，所以，

所以，所以，，所以，，

因为，所以，所以.

（2）根据函数（，）的图象，且，，可得从点到点正好经过了半个周期，即，所以，

再把点，的坐标代入可得，，所以，所以，或，，再结合五点法作图，可得.

[归纳提升]由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为，

则在观察图象的基础上可按以下规律来确定，，.

（1）：一般可由图象上的最大值、最小值来确定.

（2）：因为，故往往通过求周期来确定.可通过已知曲线与轴的交点来确定，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为.

（3）：从“五点法”中的第一个点（也叫初始点）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置.

依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：

“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为；

“第二点”（即图象曲线的“峰点”）为；

“第三点”（即图象下降时与轴的交点）为；

“第四点”（即图象曲线的“谷点”）为；

“第五点”（即图象第二次上升时与轴的交点）为.

在用以上方法确定的值时，还要注意题目中给出的的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内.

（4），，三个量中初相的确定是一个难点，除使用初始点外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解.

[对点练习]❸函数的部分图象如图所示，则（A ）

A.B.

C.   D.

[解析]由图知，，周期，所以，所以，因为图象过点，所以，所以，

所以（），令得，所以.

题型四　正弦型函数图象的对称性

例4在函数的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是.

[分析]利用整体代换法求解.

[解析]设（），得（），所以函数图象的对称中心坐标为（），取得满足条件.

[归纳提升]正弦型函数对称轴与对称中心的求法

[对点练习]❹将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离轴最近的一条对称轴方程为.

 [解析]由（），得，取时，满足题意.

误区警示

例5  函数的相位和初相分别是（  C）

A.，B.，

C.，D.，

[错解]对解答本题时易犯的错误具体分析如下：

[错因分析]此类问题一定要注意满足定义中的前提条件是“，”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“，”再求.

[正解]∵，∴相位和初相分别是，.

[方法点拨]要正确理解函数中，，的意义.

学科素养

函数性质的综合应用

例6设函数（），图象的一条对称轴是直线.

（1）求；

（2）求函数的单调区间及最值；

（3）画出函数在区间上的图象.

[分析]本题关键是对图象的对称轴为这-条件的利用，由图象一对称轴为得：当时（）进而可求值.

[解析]（1）由，得，令，解得，，∵，∴.

（2）由（1）知，，由（），

解得（），故函数的单调递增区间是（），同理可得函数的单调递减区间是（）.

当（），即（）时函数有最大值；

当（），即（）时函数有最小值.

（3）由知，

故函数在区间上的图象是